Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Tab = VfdFacFbd - lIMabFefFel, (Ю)
109. Уравнения Эйнштейна—Максвелла
279
можно записать уравнения Эйнштейна следующим образом: Rab = —2Таъ = —2цсйFacFbd — ЦаЬ [(^02)2 (Fos)2 — (^12)2 ~ (F1S)2I
(И)
Вычисляя компоненты тензора Rab с помощью уравнений (7), находим
Roo = Rn = [(А, 2)2 + (В, 2)2] + е~2*-2^ [{А з)8 + {В яП
(12)
R22 =-R33 = е-W-^ [(Л, 2)2 + (S, 2)2] - Є-2Ф-2М, [(Л, з)2 + (В, з)2],
(13)
Я10 = 2г-*+-*-»*. (Л, 2В, з - Л, з В, 2), (14)
Я23 = 2е-^-^ (Л, 2Л, з + В, 2В, з). (15)
Искомые уравнения поля получаются приравниванием выражений в правых частях предыдущих уравнений соответствующим выражениям для тензора Риччи (или тензора Эйнштейна), записанным через компоненты метрики. Выражения для последних мы находим в гл. 6 (уравнения (5)—(13)). Уравнения (12), (13), (7)—(10) гл. 6 теперь заменяются соответственно на
(еР+Из-Ц2 V, 2), 2 (еР+^-М^з V, з), з =
= V2^-V [еШ-И. (Ш) 2)2 Jr еИг-11, 3)2]
+ е-ф+v [(Л, 2)2 + (В, 2)2] + [(Л,з)2 + (В.з)2]}, (16)
(бР+Ц.-Ц*^ 2)( 2 -)- (еР+М.г-Цз^ з) з =
= —V2^-v (w, 2)2 + ((О, з)2] —
_ е-Ф+v ^,-ч. [(Л, 2)2 + (В, 2)2] + [(Л, 3)2 + (В, з)2]S, (17)
(e3^-v-M2+M3(0> 2) 2 (e8*-v+i*,-i*J(B> 3))3 = 4 (At 2В, 3 - Л, 3В, 2), (18)
(г(з -(- v), ,з — (Ф + v), г (х2, з — (v|) -f- v), з (i3,2 + аМ5. з + v, 2V, з =
=V2^-2vCO, 2со, з - 2Є-2* (А, 2Л, з + в, 2В, з), (19)
Є—2IiS [(»J) -j- v), 33-(-(1)5-1- v), з (v — JX3),з 4' Ф, З1!5, ЗІ “Ь + [V, 2 (Ф + Цз), 2 + г|3, 2Цз, 2] =
= —1Ue2^2v [Є~2^ (CO, 2)2 - е-2^ (CO, з)2] +
+ ег-** \Є-2^ [(А, 2)2 + (В, 2)2] - е-2»> І(Л, з)2 + (В, з)2]}, (20)
Є-2Ц, [(^- _|_ v); 22 + (l|> + V), 2 (v - |12), 2 + 2^, 2І +
+ Є~2Дз [v, з (^ + (X2), 3 + 3?, з] =
= + 1Ae2^-2v [б-2**2 ((0, 2)2 — Є-2*1» ((0, з)2] —
-е-2* {?-?** [(А, 2)2 + (В, 2)2] -h [(Л, з)2 + (В, з)2]}, (21)
где, как и в гл. 6,
P = if + V, (22)
280 Г лава 11. Другие решения, альтернативные методы
Запишем сумму и разность уравнений (16) и (17)
H3-M2 И, а]. 2 + [Є•*»-¦*» (еР), з], 3 = 0, (23)
[?р+м,-ц2 ф _ v) 2] 2 [ее+ц2-ц, (\|j _ V), 3], з =
= _еЗф-Г [ем3-ц2 2)2 _|_ ец.2-д3 з)2] _
_2e-t+v [(Л_ 2)2 + (В ?)2] ^2-H3 [(Д з)2 + (В, з)2]}. (24)
Уравнение (23) совпадает с уравнением (14) гл. 6, полученным для пустого пространства-времени.
Кроме того, сложение уравнений (20) и (21) снова приводит к уравнению (23), тогда как их разность дает
4емз-м.2 (р_ 2^3> 2 + ^ 2v, 2) - 4в**«—**- (Р, зИ-2, з +13% з) =
= 2е-Р (gP), 2], 2 - [в**--!*- (еР), 3], з} —
— 2v [еМз-Ц2 ((Oi 2)2 — еМ2-Щ ((Oi 3)2] _[_
+ 4е-2* Ie^-V2 [(A92)2 + (В, 2)2] - ^-^3 [(Л, з)2 + (в,з)2]|. (25)
а. Выбор калибровки и приведение уравнений к стандартному виду. Как и в § 53 гл. 6, мы можем использовать калибровочный произвол, чтобы наложить координатное условие на функции ^2 и Ji3 и, воспользовавшись далее уравнением (23), добиться того, чтобы там, где рассматриваемое пространство-время имеет гладкий горизонт событий, некоторая квадратичная функция переменной г, а именно функция (ср. с уравнениями (45) и (46) гл. 6)
Д (г) = г2 - 2Mr + Ml (26)
обращалась в нуль и, кроме того,
е2 <!*»—1*«» = A(^)1 = д'/2 Sin 0. (27)
В уравнении (26) M и M0 — постоянные, смысл которых станет ясен ниже.
Вернемся к уравнениям (8) *и (9). Можно объединить их в одно уравнение для комплексного потенциала
H = А + ІВ (28)
и записать в виде
^-Ф+v-i2) 2 _i_ (^-fv+^-дзЯ, 3)} з = * (со, 3Я,2 - со,2Я,3). (29) Записывая далее уравнение (18) в виде (^-v-m+M3(0j2 _->2 ABt3+ 2 BA,з),2 +
+ (езф-г+^-ц3с0)3 + 2 АВ,2-2ВА,2)>3 =0, (30)
получаем
^з,|,-г-д2+д3(0 2 |__ 2 Im ////*3) 2 +
+ (езФ-г+м2-и3® з - 2 Im HHU), з = 0. (31)
109. Уравнения Эйнштейна—Максвелла
281
Если ввести новую переменную
(л = cos 0 (32)
вместо переменной 0, обозначенной индексом «3», и подставить в уравнения (29) и (31) выражения (27) для е$ и ехр (^3 — (X2), то в результате получим
(Дб)
,2 +
(Д6)|/2
6#
, 3
, з
I (со, 2Ht 3 — COj 3Ht 2)1 (33)
(А CO. 2 - 2 Im Hни)' 2 + (y CO, 3 + 2 Im ННи)3 = 0, (34)
где введены обозначения (такие же, как и гл. 6)
X = ехр (—^ + v), (35)
б = 1 — = sin2 0. (36)
Аналогично можно записать через % и H уравнение (24):
[А (Ь X), *1.2 Hr Is (ln X), з], з =
- (1/Х2) [Д (со, 2)2 + б (со, з)2) + (2Х/А1/2б,/2) [A I Н, 212 + б І Я, з |2).
(37)
Уравнения (33), (34) и (37) — основные уравнения теории; если они решены, то окончательное решение получается в квадратурах из уравнений (19) и (25) (см. § HO).
б. Дальнейшее преобразование уравнений. Уравнение (34) позволяет определить потенциал Ф посредством следующих урав-
нений (ср. с уравнением (87) гл. 6):
-Ф,2 = (б/х2) со, з + 2 Im НН*2', +Ф.з-(А/х2)CO, 2-2 ImНН*3,
(38)
потому что уравнение (34) есть не что иное, как условие интегри* руемости для этих уравнений. Решая эти уравнения относительно CO12 и (о,з, имеем
CO. 2 = (х2/Д) (ф. 3 + 2 Im HHU), CO, з = - (х2/6) (Ф. 2 + 2 Im HHU),
(39)
а условие интегрируемости для этих уравнений имеет следующий вид:
