Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
10*
296
Глава 11. Другие решения, альтернативные методы
черных дыр, предположение о существовании внешних распределений массы эквивалентно ослаблению предположения об асимптотически плоском характере метрики. В этом параграфе мы покажем, как можно построить статическое аксиально-симметричное решение уравнений Эйнштейна в пустоте, которое можно рассматривать в качестве деформированной шварцшильдовой черной дыры.
Построение статических аксиально-симметричных решений уравнений Эйнштейна начнем с метрики вида
ds2 = ?2v (At)2 — е(dq))2 — е2^ (dx2)2 — е2^ (dx3)2, (147)
т. е. того же самого вида, который рассматривался в гл. 6 (и в § 109 настоящей главы), только член с со (описывающий увлечение инерциальной системы отсчета в стационарных пространст-венно-временных многообразиях) здесь опущен. Исследование получающихся при этом полевых уравнений не представляет трудностей.
He теряя общности, мы можем в рассматриваемом случае предположить, что (ср. с уравнениями (26) и (27))
е2(ц3-цг) _ д ^ = r2 _ 2Mry е& = e^+v = Д1/2 sin0, (148)
что согласуется с существованием горизонта событий при г = 2М. Основная задача затем сводится к исследованию линейного уравнения (ср. с уравнением (49) гл. 6)
[Att-v)*].,+ [6 №-Vbll8 = 0, (149)
где
б = 1 — = sin20, (150)
а индекс 3 относится к переменной ц (= cos 0). Полагая теперь
Л = (г— М)/М, (151)
когда
А = M2 (ті2 — 1), (152)
мы можем записать уравнение (149) в более симметричной форме [(T12 - I) (In х),Jj1l + [(I - ц2) (In XbU = о, (153) где, как обычно,
X = e-t+v . (154)
При исследовании решений Керра и Керра — Ньюмена мы
нашли, что функции, относящиеся к сопряженной метрике, в некотором смысле более фундаментальны, чем функции первоначальной метрики. Поэтому рассмотрим вместо функции х функцию Y:
Y = x (A8)V2 = х [(Tl2 - I) (I — fx2)]V2 (155)
112. Решения для статических черных дыр
297
Г т] — 1
X = Xsc =- 1------------------------1------------
(ср. с уравнениями (97) и (98) гл. 6). Поскольку функция х =
= (т]2 — I) (1 — [г2) является решением уравнения (153), этому
уравнению удовлетворяет и функция W:
[(T)2 - 1) (In ЧЧД, + [(I - ц2) (In Ч0.Д, = 0. (156)
Можно теперь проверить, что решение
Y = Ysc - (Tl - 1)/(11 + 1) (157)
дает метрику Шварцшильда. Соответствующее решение для х имеет следующий вид:
(Т)+1)3(1-Ц2)-] • (158)
Помимо «сингулярного» решения (157), уравнение (156) допускает решения с разделяющимися переменными. Действительно, если
InW = R(H)P(Ii)9 (159)
то для P (fx) мы должны выбрать функцию Лежандра* Pn (fx). Тогда радиальная функция R (г]) удовлетворяет уравнению Лежандра
-Sf [(т,а - 1J IGf-] - л (« + 0 * = °- (16°)
Решением для R (т]), соответствующим Pn (ц,), будет, таким образом, линейная комбинация функций Лежандра первого и второго рода Pn (т)) и Qn (ті):
Rn (Л) = AnPn (г)) + BnQn (ті), (161)
где An и Bn — постоянные. Общее решение для 1F, полученное
таким способом, следовательно, имеет вид
OO
In V = I1Rn (Tl) Pn (у) = 5 (Tl, Ц). (162)
п=О
Для шварцильдовой черной дыры, деформированной внешним распределением массы, предположим решение вида
W = Wsces = es (T1 — 1)/(т| + 1), (163)
где S — общее решение (162). Этому соответствует следующее
решение для х:
X = *-<¦« = XscSs = ]1/2gS- .(164)
* В действительности выбор функции Pn(Ii)j регулярной на оси, диктуется требованием (которое мы рассмотрим ниже в п. а) локально плоского характера метрики при р,2 = 1 и г)>1. Это же требование приводит к тому, что функции Лежандра второго рода Qn (г,) также не должны входить в решение для R (г]) уравнений (161) и (162).
298 Глава 11. Другие решения, альтернативные методы
Из уравнения (164) и соотношения
eV = ^ - [(T1S — I) (1 — |і2)]1/2 (J65)
находим
*2v = es (у]_ 1)/(^ + 1), *2ф = (1 _ |^2) (T1 + l)2e-S (166)
В результате получаем следующую метрику:
ds2 = — (1 — ^)(Л -f- 1)*<Г*(с1ф)* _
x[(d^)2 + (ri2-l)(d0)2]. (167)
Для завершения решения нужно рассмотреть уравнения, которые определяют функцию (|л2 + Цз). Поскольку в нашей задаче X=Y = %, получаем следующие уравнения (ср. с уравнениями (64) и (65) гл. 6):
- Т=>г^2 + + (Iі* + NXt* = (In x),v (ln Х),ц. (168)
2ц (|л2 + ц,),,, + 2ц ([X2 + (I8)ill =
= № - 1) [(In XU2 - (1 - И2) [(In XU2 - 3/(г|2 - 1) + 1/(1 - ^2).
(169)
Разрешая уравнения (168) и (169) относительно (ц2 + ц,3)(Т1 и (Н-2 + IA3),ц, получаем
2 (V — ц2) , і_ .. \ _ 2 (л2 - ц2) Г 2 —л _ о 1 ,
(т)2— I) (1 — (х2) ^2-1-f*3j,n (ті2 — 1)(1 — ^x2) L л2 — I
+ [4ї]/(т]2 - 1)] S„ - [4ц/(т!2 - I )]S„ - 2|iS,4S,^ + r, (S.,)2 -
-h (I -и2)/(т!2 -I)] (?2, (170)
2 (Т|2 — JLl2) , . V
' (t,* _1)(1_ Ji*) (M-Я + Из),U -
__________2 (ті2 ^t2) о j________4 ^ I_4т) ^ .
(T]2— 1)(1 —JLl2) г I — 1^2 ,T1-I- — I № I
+ 2r,S,4S„ + Ii (Siti)2 - |X(S„)2. (171)
Интегрируемость этих уравнений гарантирована.
а. Условие равновесия черной дыры. Нетрудно понять, что равновесие черной дыры во внешнем поле требует, чтобы пространство вдоль оси 0 было локально плоским при всех T1 ^ 1, потому что в противном случае на черную дыру будет действовать приливные силы, которые будут толкать ее в ту или другую сторону.
