Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
#1442 = - Є'2* (V,12 + VjlVj2 - ^ilV 2 - l|>,2Vfl), (197)
#1213 №,23 ~ 'Ь'Ы О98)
а также уравнения, которые получаются из приведенных выше циклической перестановкой индексов 1, 2 и 3. Остальные компоненты равны нулю:
#2114 ~ #3114 ~ #1224 ~ #3224 = #1334 =
~ #2334 ~ 0, (199)
#1234 = #1423 #1342 ~ 0*
(Напомним, что в соответствии с соглашением, принятым в гл. 2, индекс 4 обозначает it.)
302
Глава И. Другие решения, альтернативные методы
а. Преобразование уравнений поля. Из уравнений (199) заключаем, что
#14 ~ #1224 #1334 ~ Т. Є. #10 = 0. (200)
Следовательно, в силу уравнения (192)
^,2^,3 ^,2^,3 ~ 0* (201)
Из этого уравнения и аналогичного ему, которое получается вследствие равенства нулю R20 и R30i имеем
Ttr = Tt = Tt- (202)
Поэтому мы можем с помощью преобразования дуальности, применив его к антисимметричному тензору Fij и дуальному к нему тензору *Fij (=EijkiFkl), добиться, чтобы или Ay или В стало равным нулю. Поскольку А соответствует электростатическому потенциалу, удобно положить
В = 0. (203)
Ясно, что это предположение не приводит к потере общности.
Поскольку след тензора энергии-импульса максвелловского поля равен нулю, скалярная кривизна R также должна быть равной нулю, т. е.
R = R1212 R2323 4~ #3131 R1414
+ #2424 + #3434 ~ 0. (204)
Подставляя для компонент тензора Римана выражения из урав-
нений (195) и (196), находим
,au Н“ Л ^a1Ka + ?(4> + v) ,aa ~Ь iLl V,а (4> + v)>e = 0. (205)
а а а а
Щ Из равенства нулю скалярной кривизны R следует, в частности, что R00 = G00. Полезно выписать в явном виде соответствующие компоненты уравнений поля. Поскольку
~f" #00 ~ #44 == #1414 “Ь #2424 #3434» (206)
---Gqo — +С?44 — #1212 + #2323 + #313Ь (207)
из уравнений (190), (195) и (196) находим
S v,aa + Jj v,a (Ф + vXa = + er^v | А а |2> (208)
а а
2 S Ifcea + S = - e~2V И ,a I2. (209)
a a
потому что мы положили В = 0,
113. Решение уравнений Эйнштейна—Максвелла
303
Сложение уравнений (208) и (209) приводит к уравнению (205). В качестве другой линейно независимой комбинации этих уравнений удобно выбрать следующую:
Ф.аФ.а + 2 (г|) -f- v)}Gca -f- 2 V,a (г|) v),a — e~2v IA a |2- (210)
a a a
Наконец, рассматривая компоненту R12 тензора Риччи
R12 = Z?1332 R1442 j (211)
получаем из уравнений (193), (197) и (198)
2v,iVj2 -f~ (^ + v)fl2 — Ol5 + v)a (1I^ + v),2 — 2?"2М}1Лї2, (212)
или в более общем виде
2v>avjp + (ф + v),a(3 — (ф + v)>a (i|) -f- v),3 = 2e~2v АлаА$. (213)
Уравнения (189), (205), (210) и (213)—основные уравнения
теории.
б. Решение Мажумдара — Папапетру. Из уравнений (205), (210) и (213) с очевидностью следует, что случай
op + V = 0 (214)
особый, так как уравнения чрезвычайно упрощаются, и мы получаем:
2] IlW+ Им,a = О, (215)
а ос
|Ф, a I2 = ^ И, a I2, Л р = е2*А, аА, з (a =^P). (216)
Уравнение (215) можно записать в альтернативной форме
HHUa=-O. (217)
a
Из уравнений (216) следует, что (ср. с уравнением (188))
A, a = =F (ґЦ, а = ± («"*), a (= /7Oe)- (218)
Это решение для Aya совместно с уравнением (189) в силу (217), которому удовлетворяет функция Л Отсюда получаем решение для электростатического потенциала А
А = ±е-*, (219)
причем выбор знака—это вопрос соглашения.
Далее удобнее писать (х, у, z) вместо (X1f X2y х3) и U вместо Л При этом метрика принимает следующий вид:
' ds2 - U-2 (dt)2 — U2 (dx2 + dу2 + dz2), (220)
а функция U удовлетворяет трехмерному уравнению Лапласа в декартовых координатах
<221>
304
Глава JL Другие решения, альтернативные методы
Электростатический потенциал равен
А - U-1. (222)
Это и есть решение Мажумдара — Папапетру.
в. Решение, описывающее семейство черных дыр. Разумеется, любое решение уравнения Лапласа (221) может быть использовано в сочетании с метрикой (220). Ho нас особенно интересует решение, описывающее семейство черных дыр, которое получается из ньютоновского потенциала для ряда точечных масс Mi (i = 1, ... N):
N
U = I + ? MiIrh (223)
I =I
где
rt = i(x - XiY + (у - Уіу + (z~ 2г)21І/2. (224)
а аддитивная постоянная I в решении для U гарантирует, что в отсутствие источников мы имеем метрику Минковского.
Два факта требуют прояснения.
Во-первых, исходя из вида метрики (220), когда различные точки (xit tji, Zi) достаточно далеко удалены друг от друга, мы можем отождествить постоянные Mi с инертными массами внутри сфер достаточно большого радиуса, окружающих различные точки. Следовательно, мы должны потребовать, чтобы все постоянные Mi были положительными:
Mi >0 (i = 1, ..., N). (225)
Таким образом, в той части многообразия, которую покрывает карта (я, у у г), — а мы увидим, что она покрывает только часть максимально расширенного многообразия, — величина U (х, у, г) положительна и не равна нулю, а метрика регулярна всюду, за исключением точек rt.
Во-вторых, заряд Qi точечной массы Mi можно определить, вычислив интеграл от дивергенции вектора Fa0 (—g)~]/2 по сферическому объему Vii окружающему точку (Xi, yt, Zi) *:
