Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Это требование локально плоского характера метрики, если его
иначе сформулировать, требует, чтобы отношение длины окружности к радиусу для бесконечно малой окружности, проведенной
112. Решения для статических черных дыр
299
ортогонально оси, было равно 2л; для всех т] ^ 1. Для метрики, записанной в форме (167), это требование сводится к тому, что Г ^2+^3(^2—i)!/2 (d0)2 "I
-------—--------- —— =1 при I, (172)
Iim
0+0 или я
ИЛИ
(Т] + I)2 Є S sin2 0
Є0 == [(Ц — I)/(rj + 1)3]1/2 = 1 При Г]^>1. (173)
Уравнения (170) и (171), переписанные через а, упрощаются:
2 (T)2 — JLl2) _
(Ti2 — 1)(1- H2) а>11 ~
= IjTirr - V1I4- г s* ~ (sJ2 - 1I ^2zLt (s^2'
(174)
2 (Tl2 — ц2) _
¦и .11, —
(Tl2 — 1) (1 — JJ,2)
— TZTjJT ^^ Т]24— Г ^ “ Iі (4^^)2 + И» (^»л)2-
(175)
Необходимым (но не достаточным) условием для выполнения уравнения (173) является условие
Gti = 0 при 1 — (I2 — 0. (176)
Уравнение (1*74) будет совместным с этим требованием, только если
5 (г), fx) регулярно при [і = ±1. Именно это требование заставляет ограничиться функцией Pn (fx) при написании решения (162) для функции In xP.
Поскольку на оси gjT1 = 0, всегда можно устроить так, чтобы а = 0 при 0 = 0 и т] 5> 1. Ho чтобы G также имело значение 0 и при 0 = я, мы должны вдобавок потребовать
я
} °\е Ol = I) d0 = 0. (177)
О
Из уравнения (175) следует, что первым требованием является регулярность S при Ї) = 1. Поэтому мы не можем включить функции Лежандра второго рода в решение (161) для Rn (ті), и решение для S сводится к следующей сумме:
OO
S (T,l(i)= ? ЛпР„(т1)/,»(|*). (178)
л=О
Для этого регулярного при т] = 1 решения уравнение (175) дает
Qtll - 2Sf|1 Oi - 1), (179)
а из условия (177) получаем
S (Л = 1, |х = +1) = S (л = 1, |х = -1). (180)
300
Глава IL Другие решения, альтернативные методы
Если решение для S дается уравнением (178), то условие локально плоского характера метрики на оси требует, чтобы нечетные коэффициенты А2п+1 подчинялись условию
ІМ2пЛ+і(1) = 0, (181)
п=О
а на четные коэффициенты A2n никаких ограничений нет.
Наконец, отметим, что метрика, описывающая статическую деформированную черную дыру, представима также в виде
dS2 = e+s (d/)2 - -jj (dri)2 - (г) + I )2 e~s x
X [e° (d0)2 + sin2 0 (dcp)2], (182)
где а может быть получено в квадратурах из уравнений (174) и (175), а решение для S определяется уравнением (178), причем на нечетные коэффициенты наложено условие (181).
113. Решение уравнений Эйнштейна—Максвелла, описывающее семейство черных дыр
В настоящем параграфе мы рассмотрим решение уравнений Эйнштейна— Максвелла, являющееся аналогом ньютоновского распределения массивных точечных зарядов, взаимное гравитационное притяжение которых точно компенсируется кулоновским отталкиванием. Решение это было найдено Мажумдаром и Папа-петру, однако правильная интерпретация его как решения, описывающего семейство экстремальных черных дыр Рейсснера — Нордстрема (с Qjft = ±М), принадлежит Хартлю и Хокингу.
Решение Мажумдара — Папапетру можно получить, если рассмотреть статические решения уравнений Эйнштейна — Максвелла для пространства-времени с метрикой
ds2 - (At)2 — eW [(ck1)2 + (d*2)2 + (dx3)2], (183)
где V и а|) — функции только пространственных координат X19 х2
и X3. Уравнения поля для этой метрики можно выписать сразу,
воспользовавшись уравнениями гл. 2. Действительно, из уравнений (95а) — (95з) гл. 2 получаем уравнения Максвелла
(^12),3 + (&F 2з),1 + (<**Fs i),2 = 0; (184)
H+vZ7OiX2 - H+vZ7O2Xi = о, И^оїХз-И^озЬ-О, (185)
H+vZ7I2X2 - H+vZ7SiX3 = 0;
(^0.),2 + (^Z703), 3 + (<**F0 iXi = 0; (186)
H+vZ723X2 - H+vZ731),! = о,
H+vF23),з - H+vF12X1 = 0, (187)
H+VF 02),3 - H+vF03),2 = 0.
113. Решение уравнений Эйнштейна—Максвелла
301
Из двух систем уравнений (185) и (187) следует, что компоненты (F01, F02, F03) и (F12, F23, F31) тензора Максвелла можно получить из потенциалов А и В:
^+vF0a = A40l9 ^+vFap - Biy (188)
(причем во втором уравнении значения индексов а, |3 и у составляют циклическую перестановку индексов 1, 2 и 3). Здесь и ниже греческими буквами обозначаются пространственные координаты, а суммирование по а означает суммирование по а = 1, 2 и 3.
Уравнения (184) и (185) дают уравнения для потенциалов А и В
Е(е*-Ч«)1в = 0, H a),a = 0. (189)
а а
Тензор энергии-импульса для максвелловского поля задан уравнением (11), поэтому
^00 = е-№)[|Да|2 + |В)а|2]) (190)
Ru = <r2(*+v) [| А,а I2 + I Bta I2 - 2 (АЛГ - 2 (Яд)2], (191)
R10 = + 2e-2M’+v) {а2в з _ BttAt3), (192)
R12 = - 2*>-2<^> {АлАа + BtiBt2), (193)
где принято обозначение
IAtaI2=Il(Atj)K (194)
a
Выражения для компонент R22 и т. д., не перечисленные здесь, могут быть получены циклической перестановкой индексов 1, 2 и 3.
Уравнения (75а) — (75х) из гл. 2 дают следующие выражения для ненулевых компонент тензора Римана в метрике (183):
#1212 — Є (^,Il ~Ь ^,22 Н" 1P,зФ,з)> (195)
#1414 = Є~(v,ll + V,1V,1 ~ V,2ll),2 H- ^3^,3)* (196)
