Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
&P-1 = (A, -f 2iar) Р+1 - 2іК&оР+і- (61)
Уравнения (60) и (61) позволяют выразить производные функций Р+1 и Р_г через сами эти функции:
-?1- = +jT - ж\^ + 2Ш) - Vp
HD .JT * (62)
P^1 + № - 2iar) Р_, - VP+1].
Следует отметить, что мы еще не знаем по отдельности действительную и мнимую части Vi хотя знаем ее абсолютное значение. Этот пробел будет ликвидирован в § 71.
Подобным же образом из уравнений (48) находим, что если обе функции 5+1 и 5_і нормированы на единицу, то
StS-I = - (1/2Q) [(X - 2аа cos 0) S_, + DSh ],
Sf1S^ = + (1 /2 Q) [(Я, + 2ао cos 0) S+1 + DS_{\.
Очевидно также, что эти уравнения позволяют выразить производные функций S+1 и S_x через сами эти функции.
lie
Глава S. Электромагнитные волны в геометрии Керра
71. Завершение построения решения
Для полного окончания решения уравнений Максвелла, кроме разделения переменных в уравнениях для функций Ф0 и Ф2, необходимо определить их относительную нормировку. Если мы выберем радиальные функции ДR+1 и R_i равными соответственно функциям Р+1 и P^1 (что согласуется с уравнениями (58)), а функции S+1 и S_i нормируем на единицу (в согласии с уравнениями (48)), то нам остается определить численный множитель, на который нужно умножить, например, функцию Ф2 = P_iS_i, если функция ДФ0 выбрана равной P+iS+1. Этот множитель можно найти только из уравнения, которое прямо связывает функции Ф0 и Ф2. Такое уравнение может быть получено исключением функции Фг из уравнений (13) и (14) с помощью леммы 2 из § 68. Действительно, действуя оператором (SE0 + ia sin 0/р*) на уравнение (13), а оператором (SD0 -j- 1/р*) на уравнение (14) и складывая результаты, получаем:
(SE0 + 'ш sin 0/Р*) (3?\ — Iа sin 0/р*) Ф0 =
— (SD0 -f- 1/р*) (S)0 — 1/р*) Ф2. (64) После упрощения это уравнение принимает следующий вид
S0S1(S)0 = ?>0?>0Ф2. (65)
Если решения для Ф0 и Ф2 даются уравнениями (23), то уравнение (65), требует, чтобы
(S0S1S^1 = (A 3)03)0R_i)/ AR+1. (66)
Если теперь предположить, что обе функции 5+1 и S_i нормированы на единицу, то из уравнения (48) следует:
Аад^-ОА^, (67)
В этом последнем уравнении можно отождествить функции R^1 И р_г И функции AR+1 и Р+ъ т. е.
R—i = Р-ъ &R+1 = Р+ъ (68)
если
= D = (№- 4а2а2р. (69)
В силу равенства (52) из последнего уравнения следует, что — действительная постоянная и что можно не делать различия между ? и ^* (например, в уравнениях (60)—(62)).
Теперь мы можем определить функции ф0 и, ф2 (см- Уравнения (12) и (23)):
= P+iS+u ф2 = [1/2 (р*)2] P^1. (70)
Таким образом, соотношение (65) не только позволяет определить относительную нормировку решений фо И </>2, HO и однозначно определяет постоянную Ф.
а. Решение для функции фг. Нам осталось получить решение для скаляра Фх.
71. Завершение построения решения
119
Определим прежде всего функции g+1(r) = ( 1/&) (rSD0P_x - Р_!), g-i (г) = (1/??) {r3>tP+l - P+,),
/+, (0) = (1/9) [(cos 0) S\S.x + (sin 0) S_, ], и (0) = (1/9) [(cos 0) SxS+l + (Sin 0) S+1],
Используя тождества Тьюкольского—Старобинского, можно проверить, что функции (г) и /± (0) удовлетворяют дифференциальным уравнениям
A@og+l = rP+,; Sof+i = S+I COS 0;
ASDtg-I = r/>_,; S0U = S_! COS 0. (72)
Запишем теперь уравнение (13) в виде
ASD0 (Р*Фі) = (p*Sx — ia sin 0) АФ0- (73)
и подставим вместо функции ДФ0 решение P+1S+1. Используя
формулы (71) и тождества, доказанные в § 70, можно переписать
это уравнение следующим образом:
А2)0 (Р*Фі) = (rP+і) SjS+1 — iaP+j [(cos 0) SiS+i -(- (sin 0) S+1) =
= (A2)0g+1) SiS+i - icfo’P+J_! =
= (A2>og+i) S1S^1 — ia (AG0G0P^)U- (74) Мы получили, таким образом, соотношение
SD0 (р*Ф,) = ?>о (g+iSiS+1 - iaf_x2D0P_x). (75)
Аналогично из уравнения (14) получаем S0 (р*Фі) = [(г — ia cos 0) SD0 — I ] P_iS_x =
= (гФ0Р_х — P.i) S_! — ia (SD0P-I) (cos 0) S_x =
= g+iS0SxS+y - ia (S)0P_x) S0U, (76)
или
S0 (р*Фх) = S0 (g+1SxS+1 - IaUSD0P_i). (77)
Сравнивая уравнения (75) и (77), заключаем, что требуемое решение для Фх имеет вид
___________ Р*Фі = g+i (г) S1S^1 (0) - iaU (0) S)0P_i (г). (78) *
* Строго говоря, к частному решению уравнения (78) нужно прибавить решение P соответствующих однородных уравнений
SD0 (P) = S0 (P) = 0.
Ho решение
P =z const X ехр [—ia (г* + ia cos 0)] ctgm (0/2),
где г* определяется уравнением (см. уравнение (100) ниже)
dr* = (г2 + a2) dr/A (а2 == а2 + ат/о)
и сингулярно при 0 0 и 0 = л/2, и поэтому мы не включили его в решение
для р*Фх.
120
Глава 8. Электромагнитные волны в геометрии Керра
Производя аналогичные действия с уравнениями (15) и (16), найдем, что решение для O1 можно получить и в другом виде
-р’Фі = g-1 (г) S-, (0) - ia/+1 (0) 2>1р+1 (г). (79)
Сравнение решений (78) и (79) приводит к интересному тождеству
g+iS,S+l + іy+s_, = ia (/_, P-i + /+і iZ&P+i)-. (80)
Прежде чем заняться проверкой этого тождества, заметим, что комбинируя решения (78) и (79), мы можем записать решение для </>! в более симметричной форме
