Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
т?г = -®Нг’ (100)
где
со2 = г2 -f а2, а2 = a2 -f ат/о. (101)
Вследствие того что величина а2 может быть отрицательной (когда
т отрицательно, а о ->0), ясно, что соотношение между г* и г, вытекающее из уравнения (100), может при некоторых обстоятельствах стать двухзначным. В свое время мы рассмотрим, как поступать в таком случае, а пока изучим формальные следствия предлагаемой замены переменных.
Непосредственным следствием перехода к новой независимой переменной г* является более простая запись операторов &0 и &\\
00 = (S2M) А+, = (б2/Д) Л_, (102)
где, как обычно,
Ai =-^±т. (103)
Простота обусловлена тем, что в силу определения (101) имеем
К = &2а. (104)
Во-вторых, изменим вдобавок зависимую переменную:
Y = \ (о2 |"S+1/2P+S. (105)
В случае целых значений s это преобразование сингулярно, если в интересующей нас области изменения со2 величина г должна менять знак — об этом речь впереди.
После замены переменных уравнение (98) принимает вид
A^1CO2 {Л+ [(co2/As) Л_ (| со2 Is-1Z2F)]) -
- 2 (2s - I) iar I ш2 Is-1Z2F -k\(o21 s^2F = 0. (106)
Расписывая его, получаем
CD
js+3/2
A2F +
JLtaI^E
dr* As
Л_У 2ia (2s — I) г-TT7- +
- [2 (2s - I) iar I S2 Is"1/2 + M©2 |s',/2] Y = 0. (107)
124 Глава 8. Электромагнитные волны в геометрии Керра
Если ввести определения
р=і?:1п = “ё"[2гЛ - 62 (108)
то уравнение (107) можно привести к виду A2Y + PA_Y -QY = 0,
(110)
с которым мы уже встречались при изучении возмущений шварц-шильдовской черной дыры (гл. 4, уравнение (284)).
а. Зависимость г* от г. Интегрируя уравнение (100), получаем соотношение
При изучении внешних возмущений керровской черной дыры нам не нужно знать, что «происходит» под горизонтом событий г = г+. Поэтому мы рассмотрим зависимость г* от г только при г > г+.
Из уравнения (111) с очевидностью следует, что зависимость
г* от г однозначна при г > г+, если
т\ + а2 = 2Mr4. — а2 + а2 = 2Мг+ + ат/а > 0. (112)
При выполнении этого неравенства
г* -> + оо при г -> оо,
-Л (113)
г* -> —OO при г —> г+ + 0. и г* является монотонной функцией г. Полагая для отрицатель-
и помня, что мы условились считать а положительным, заключаем, что, до тех пор пока а > аа, зависимость г* от г однозначна вне горизонта событий и г* может принимать любые значения на всей числовой оси (—оо, +оо). Ho если О < а < Os и г\ + а2 < О, то зависимость г* от г двузначна, причем г* -> + оо /са/с при г -> оо, та/с а при г -> г+ + 0. В последнем случае в окрестности г = I a I поведение г* таково:
Г* = (I ot I) + (I Ot |/А| Ot і) (Г — I ot D3 + О ((г — I Ot I)3). (115)
Точно так же в случае О < а < Os функции PhQb уравнении (HO) становятся сингулярными при г = |а|. Следовательно,
2 Mr+ + am/сг
2Mr_ -f- am/о /+ — /¦-
Чтг-1) <г>г+>- <ш)
ных т
Os -= —ат/2Мг+ (т. < 0)
(114)
73. Общая теория преобразований
125
в этих случаях уравнение нужно рассматривать раздельно для двух ветвей зависимости г * от г, а именно для | а | < г < оо и г+ <г < |а|.
Мы покажем в § 74 и 79, что в интервале 0 < о < Os коэффициент отражения для падающих волн с целым спином превыилаещ единицу. Это явление называется суперрадиацией и является аналогом процесса Пенроуза для волн.Мы рассмотрим природу суперрадиации в § 75, а здесь хотим обратить внимание на сходство неравенства
2Мг+о <—am (116)
(эквивалентного условию о < Gs) с неравенством (352) гл. 7: эти неравенства в точности совпадут, если отождествить Ho с 8М, a hm с 8Jy где h — постоянная Планка.
В заключение отметим, что а2 становится отрицательным, прежде чем о становится равным оу
а2 с 0 при о < ос = —т/а, (117)
причем а2 = 0, когда колебания в волне происходят в такт с вращением черной дыры (будем называть такую частоту «согласованной»). В интервале Os < о < оСУ несмотря на то что а2 < О, тем не менее г\ + а2 > 0 и зависимость г * от г остается одно-значной.
73. Общая теория преобразований и редукция к одномерному волновому уравнению
В предыдущем параграфе мы привели общее уравнение Тью-кольского (98) к виду (HO), полностью совпадающему с уравнениями формализма Ньюмена—Пенроуза, которые появлялись в § 20 при изучении возмущений шварцшильдовской черной дыры. Поэтому, так же как и ранее, будем искать преобразование, посредством которого уравнение (HO) сведется к одномерному Ьолновому уравнению вида
Г A 2Z=VZy (118)
|где V — потенциал, подлежащий определению. і Развиваемая здесь теория отличается от формализма, развитого в § 30, только в одном отношении: функции P теперь определены иначе (ср. уравнение (108) с уравнением (286) гл. 4). Будет однако удобнее записать все основные формулы в том виде, р каком они нам понадобятся.
і Предположим, что функция Y связана с функцией Z следующим !©отношением (ср. с уравнениями (287) и (288) гл. 4):
Y = /A+A+Z + WA+Z,
(119)
126
Глава 8. Электромагнитные волны в геометрии Керра
где ff и W — некоторые функции г*, которые следует найти. Уравнение (119) может быть также записано в виде
