Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Если следовать процедуре, использованной при установлении связи между решениями Z+ и Z_ (уравнения (160)—(163)), то из уравнений (167)—(170) получим следующую связь между решениями Z(+a) и комплексно-сопряженным решению Z('a):
^(+a)z(+a) = 4(72(^ _ 2а2 д/й4 _ 2aa) [z(-a)j* _
(171)
5*
132
Глава 8. Электромагнитные волны в геометрии Керра
Асимптотики функций и У^±а\ совместные с асимптотиками функции
[COi^ = r\ + а2 + ат/ о
v+ = (A/co4) [I — a2A/co4 - ioc(b2 d (A/co4)/dr]
Z(+G) exp [+ior*] exp I—ior* ]
z(-a) exp I—ior#] [(A, + 2oa)/(k — 2aa) ] exp [~\~iorr> ]
y(+a) —4a2 exp [ior* ] [—(Я + 2aa)/r2] exp I—ior*]
y(+<J) —4a2 exp [jTior^] — (Я + 2aa) Д exp [—ior^] co“2 [со2 + і (r+ —
y(-a) —4a2 exp [—ior* ] — (Я + 2aa) exp [jI-ior* ]/r2
y(-a) —4a2 exp [—rarj — (k + 2aa) Д exp ] co“2 [со2 — і (г+ — M)/a]_1
В частности, при г -> оо, г -> r+ + О
K(±°)Z(±C) _ К(та) [z(Ta)-j* _ 8/ао2д± [Z<=F°>]\ (172)
Можно отметить еще соотношение (см. уравнение (69))
К(+С)К^~а) = 16а4 (X2 - 4а2а2) = 16aV. (173)
б. Асимптотическое поведение решений. Потенциал V, определенный уравнением (153), спадает экспоненциально по г* на горизонте событий при г —> г+ + 0 и убывает пропорционально г-2 при г —> оо. Таким образом, если частота а лежит вне интервала суперрадиации, потенциал является короткодействующим, интеграл по всей области изменения г% конечен и всегда веществен. Если же частота лежит в интервале суперрадиации, то потенциал имеет сингулярность при г = ICC I > г+ (см. п. 75, в ниже) HO поведение на горизонте и на бесконечности не меняется. Следовательно, во всех случаях решения волновых уравнений имеют следующую асимптотику:
Z -> ехр [=Wcxr*] (г -> оо, г -> г+ + 0). (174)
Подставляя эти выражения в уравнения (156)—(159) и (167)— (170), можно найти соответствующее поведение на асимптотике для функции Y (и, следовательно, также для решений уравнения Тьюкольского). Кроме того, уравнения (163) и (172) позволяют связать асимптотики решений, принадлежащих двум потенциалам, и асимптотики решений Z(+a) и Z(_a), принадлежащих одному и тому же потенциалу.
Действительно, из соотношения (163) следует, что решения для Z_, имеющие соответственно асимптотики при Г -> CO и г -> —і> т+ + 0:
Zi+a> - ехр tor*], Z-+a) - ехр [+ far*], (175)
74. Потенциальные барьеры для падающих волн
133
Z^a) для потенциала V_^_ 2Mr+ (I -GsIa)]
Таблица 8
V_ =(А/со4) — a2А/со4 + іасо2 d (A/co4)/dг]
ехр [jTior* ] [(к + 2оос)/(к — 2аа) ] ехр [—Zarsjs ] г* -> ± оо
ехр [-Zarsjs ] ехр [+ Iarsjs ] г* ± оо
—4а2 ехр [+Iarsjs ] [— (к + 2aa)/r2] ехр [—Zarsjs ] г-> + ос
—4а2 ехр [+rarJ — (Я+2аа) А ехр [-Zar*] со"2 [со2 + Z (r^.— Mj/a]''1 /*->^+0
—4а2 ехр I-Zarsjs ] — (X + 2аа) ехр [+tar* ]/г2 г->- + оо
—4а2 ехр [—гаг*] — (Я + 2аа) А ехр [ZcrrJ со“2 [со2 —i (г — M)/a]_1 r->- r+ + 0
приводят к решениям Zi+a) со следующим асимптотическим поведением:
,(+a) I [(^ - 2аа)/(Я, + 2аа)] ехр [-гаг*] при г —оо,
Zr* — г , • , л (176)
I ехр [+гагJ при г->г+ + 0.
Подобным же образом находим, с помощью соотношения (172), что решения для Zi+ а), имеющие асимптотики
?{ra) \ ехр [+tar*] при г —оо,
ZrjjH • ,а (177)
1 ехр [—гаг*] при г->г+ + 0,
приводят к решениям для Z++a) со следующим асимптотическим поведением:
(+а) \ № - 2ао)/(Х + 2аа)] ехр [—tar*] при г -
Z^- г . • in (178)
(ехр[+гаг*] при г-*г+ + 0.
В табл. 8 приводится сводка асимптотик для функций Z(±a) и F(±a), полученных из асимптотики ехр (±гаг*) для функции Z++a), принадлежащей потенциалу 1/+.
Подчеркнем, что при выводе соотношений (156)—(159) и (167)— (170) не делалось никаких предположений об относительной нормировке функций F(+a) и F("0). Эта относительная нормировка, по сути дела, определена в табл. 8, поскольку приведенные здесь асимптотики для функций F(+a) и F(~a) были получены в предположении, что функция Z(+a), принадлежащая потенциалу V+, имеет асимптотики ехр [+гаг*] и ехр [—гаг*] при г -* оо и г
- г+ + 0.
134
Глава 8. Электромагнитные волны в геометрии Керра
75. Задача об отражении и прохождении волн
После формального сведения уравнений Тьюкольского (в случае s = 1) к форме одномерных волновых уравнений перейдем к задаче их использования для нахождения коэффициентов отражения и прохождения падающих электромагнитных волн. Сразу же оговоримся: хотя сведение основных уравнений к одномерным волновым уравнениям предполагает, естественно, исследовать далее задачу о проникновении через барьер, следует еще показать, что коэффициенты отражения и прохождения, появляющиеся в такой задаче, имеют отношение к реальным физическим процессам. Отложим решение этого и других вопросов физической интерпретации до § 76, а сейчас продолжим формальное исследование уравнений.
Рассматривая задачу об отражении и прохождении потенциального барьера, заданного уравнением (153), будем различать три случая: а > Gc (= —т/а), когда а2 >0; Gs < а < Gc, когда а2 < 0, но rf > I а |; и 0 < а < Gs, когда а2 < 0 и г+ < | а |.
