Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Фг = O1ZyrYp* = [i/2*/4 (р*)2] [(^1S41 - -
- ia (/L1 Ф0Р-\ - /+1 ^+1)] • (81)
б. Проверка тождества (80). Выражения для g±i (г) и f±\ (0) могут быть с помощью уравнений (60), (61) и (63) переписаны в виде комбинаций функций Pdt\ (г) и S±\ (0):
g+1 = (1/2VK) [(irl — 2a2a) Р_х — irVP+1],
g_! = (112VК) [—{irX + 2a2a) P+1 +
/+1 = (1/294? [(—X cos 0 + 2a2o/a) S_x - ^5+1 cos 0], ( '
= (1/2VQ) [(+Xcos 0 -f 2a2o/a) S+1 -f-^S.iCOsO].
Теперь тождество (80) проверить легко.
в. Решение для векторного потенциала. В данном разделе мы покажем, как из найденных решений для максвелловских скаляров <t>0, </>1 и <j>2 можно получить в явном виде решение для векторного потенциала А.
Начнем с выражения
F ii = djA ,-д,Л, (83)
и выразим скаляры ф0 и через векторный потенциал А. Имеем
= FijVmi — Iimi (SjAi — д;Л;-) = PbAi — m'DAj =
= (HyTp) - m'SbaAi =
= (l/y 2 р) Si [(r" -j- a ) AtlА -j- Лг -{- (а/А) Лф] —
— (1/У^2 р) 250(ійЛі sin 0 + Л9 + ІЛФ cosec 0), (84)
ф2 = IhiTii (OjAi — OiAj) = т‘ Д Лг — nib*Aj =
= - (m' А/2р2) - (n'//2"p*) 2V4/ =
= — (l/p2p*2 У~2) {A^o (—шЛ< sin 0 + Ле — іЛф cosec 0) +
+ [—АЛГ -)- (г2 -)- а2) Л j йЛ<р]} • (85)
71. Завершение построения решении
121
Полагая теперь
AF+i = (г2 -)- а2) At -|- AAr + аЛф, AF_! = (г2 -j- й2) — ДAr -j- аА^,
G+i = іаА-tsin 9 + -^0 + iAy cosec 0,
G_i = — iaAt sin 0 + Ae — іЛф cosec 0, (86)
перепишем уравнения (84) и (85) с помощью решений (70) для
скаляров ф0 и ф2 И определений (72) в следующем виде:
(MyrT) (StAF+l - A@0G+i) = (г + ia cos в) P+IS+I =
= S+і A0og+i + іаР+1 3?tU > (87)
- (1//2-) (AS>tG-1 + Sp0 AF-i ) = (/¦ + w cos 0) =
= S_, A^oVi + iaP-1 ^0/-1 • (88)
Эти уравнения легко разрешить относительно функций Fi і и Gi ь Находим
AF+i = (mP+1/+1 -f- Л2)о^+і) 2 ,
Af-i = (-ioP-i/-i - A&tH-i) /Т,
G+i - (-?+. S+I + ^о+Я+1) /2-,
G-i = (—?f-iS_i -j- i?0Я_г) /2",
где функции #+1 и #_ь введенные здесь как произвольные, как мы сейчас покажем, на самом деле не являются независимыми.
Имея решения для F±i и Gi ь мы можем решить уравнения (86) для компонент векторного потенциала. Находим
AAr = (А/2)(F+i - F_,) = (ialjT2)(P«U + P-if-i) +
+ (Чу/Т) (AS)0H+ ASDtH-і), (90) Лє = (G+1 + G_i)/2 — — (1/(/ 2 ) (gf+iS+1 -(- gLjS.j) +
+ (l//T)(2tftf+, + 2y*-i). (91) P2^i = V2 [A (F+1 + F_i) + ia (G+1 — G_i) sin 0] =
= (ia/-/2 ) [(P+1/+1 — P_i/_i) - (g-+1S+1 - g_xS_x) sin 0] +
+ (1//2-) [(A3)0H+l - A3>tH-i) + ia(StH+l - S0H-,) sin 0], (92) P*v1<p — — V2 [^A +i “I- ^-i) ^in2 0 -|- і (г2 -f- a2) (G+i — G_i) sin 0] =
= - 0'//2") [a2 (P+1f+1 - P_if_i) sin2 0 —
- (r2 + a2) (g+lS+1 - ^.iS,!) sin 0] -
- (1//2-) [a (Д0оЯ+І - A2>tH-i) sin20 +
+ і (r2 + Cf) (StH + - 2V/_,) sin 0]. (93)
122
Глава 8. Электромагнитные волны в геометрии. Керра
Как уже упоминалось, существует ограничение на выбор функций Я+1 и Н_і. его можно найти, вычисляя фг через А и сравнивая результат с решением (81). Вычислим через векторный потенциал:
фі = V2 (Iі п‘ + fhlmi) Fij = V2 (IW + rhcmi) (OjAi — OiAj) =
= - (A/2p2) ItGtAi - HiG0Aj +
+ (ml/i/2 p) StAi — (т'/У2 p*) S0Aj =
— (V2P2) UKAr — (г2 -)- a2) Atj г — «Лф, Т — Q.<4e —
-HaAttQ sin2 0 -f- Av, 0) cosec 0]. (94)
Подставляя теперь выражения для компонент А из уравнений (90)—(93) и приравнивая получающееся выражение решению (81) для фъ находим, произведя упрощения:
Gf0AG0HJip)2 + SlStHJip)2 -
- G0AGtHJipJ - StS0HJipf = 0. (95)
Этим уравнением определяется свобода в выборе калибровки векторного потенциала. Оно напоминает кулоновскую калибровку.
72. Преобразование уравнений Тьюкольского к стандартному виду
Рассмотрим вместо уравнений (26) и (28) более общие уравнения
[AG1., s ,Gt - 2 (21 s I - I) ior] Р+1 s і = кР+1 s „ (96)
[AGtx s \G0 + 2 (21 s I - I) ior) = KP4 s „ (97) *
описывающие безмассовые поля спина |sj. Действительно, в случае IsI = 1 уравнения сводятся к уравнениям (26) и (28), описывающим фотоны со спином 1, а в гл. 9 и 10 мы увидим, что в случае I s I = 2 и 1/2 эти уравнения описывают соответственно распространение гравитационных волн и двухкомпонентных нейтрино.
Поскольку функции Р+1 s і и Р_| s і удовлетворяют комплексносопряженным уравнениям, достаточно рассмотреть уравнение только для функции Р+|S|. Кроме того, из соображений удобства будем писать просто s вместо |s|, понимая, что s следует считать положительным и принимающим значения 2, 1 и 1/2. Будем рассматривать, таким образом, уравнение
[AG,-sGt - 2 (2s - I) ior] P+s = bP+s. (98)
Здесь Р+| s j и P_, s I обозначают функции AsR+s и R_s для которых мы не будем предполагать какую-либо специальную относительную нормировку.
72. Преобразование уравнений Тьюкольского 123
В этом уравнении величина т входит в операторы SD и SD^ явно через выражение
К = (г2 + а2) о -f am. (99)
Покажем теперь, как исключить явную зависимость от т подхо-
дящей заменой переменных.
Во-первых, введем вместо г новую независимую переменную г*, определяемую уравнением
