Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Ic^l2 = X2 — 4а 2CF2, а2 = а2 + ат/о. (35)
Доказательство. Действуя оператором Д^)о^о на уравнение (33), получаем
A2>j2>jA2>o2>o/?-i = Л^о^о А/?+і. (36)
В силу уравнения (34) последнее равенство можно переписать следующим образом:
A2>0g>oR-\ = IV f /?_, • (37)
Следовательно, по модулю операторного равенства
A?Z5o^o 2iar — X = O мы имеем соотношение
Л0О0О = I ? I2, (38)
откуда значение Ic^l2 можно получить прямым вычислением левой части тождества. Имеем
Amlml A^0Sb0 = ASbl (&о ASbl + 4ira) 2>0 =
= AZblSb0 (ASblSb0) + Ura A?>lsb0 + Ua ASb0 =
= ASblSb^ 0- — 2tar) + Ura ASDlSD0 -j- Ua ASb0. (39)
С другой стороны,
ASbl Sb0r = ASbl (г?> 0 + 1) = Г ASblSb0 + АФ0 + А 3)1 =
= г A^to + ZASb0 - 2ІК. (40)
* В § 71 будет показано, что W — действительная постоянная.
70. Тождества Тьюкольского—Старобинского
115
С помощью этого последнего соотношения можно привести результат в уравнении (39) к виду
АФ0Фо = (X + cIim) - 4оК =
= (X + 2iro) (X — 2ira) — 4а [(г2 ~|~ а2) а + amI =
= X2 - 4а2а2 - 4шт = | |2, (41)
что и доказывает требуемое тождество.
ТЕОРЕМА 3. Выражение только коэффициентом
пропорциональности отличается от функции S_b а выражение 3?l2?XS-X только коэффициентом пропорциональности отличается от функции S+1.
Доказательство. Действуя оператором SqS1 на уравнение (25), которому удовлетворяет функция 5+i, получаем
—\S+\ = SE\ + 2ао cos 0) S+\ =
= go&i&o&iS+t + 2ао (cos 0) 3?o2?\S+\ — 4acr (sin 0) i?iS+i. (42)
Последовательно преобразуя это выражение, находим
SoSXS%SX = SoSx (S0 - 2Q) S1 =
- So (S\ + 20) SoSі - ISoSTlQSx. =
= SoStS0Sl + 2So (QS0S1) - 2S0 (S0Q - Q ctg 0) S1 =
= SoStSoSl + 2^o (QSW) -
— 2S0 (aa cos 0 -f- m ctg 0 cosec 0) S\ —
— 2^0 [Q^o-S7I + (a® cos 0 — m ctg 0 cosec 0) S1] =
= S0StS0Sl - 4aaSo (cos 0) S1 =
= SoStSoSx - 4aa (cos 0) + 4aa (sin 0) S1. (43)
Объединяя результаты редукции (42) и (43), получаем
(S0St - 2ааcos 0) S0SXS+X = — %SoSxS+x. (44)
Таким образом, выражение удовлетворяет уравнению
(27), которому удовлетворяет и функция S_b и, следовательно, первая часть теоремы доказана. В то же время результат предыдущих преобразований эквивалентен установлению справедливости тождества
SoSl (StSx + 2ао cos0) = (S0St - 2aacos0) S0Sx. (45)
Сопряжение этого соотношения (получаемое заменой 0 на я — 0), т. е. уравнение
S\St(S0St - 2ао cos 0) = (StSx + 2ао cos 0) S%St, (46)
116
Глава 8. ЭлектромаёниМныё волны ё геомеіїгрии Керрй
показывает, что справедлива и вторая часть теоремы.
Теорема 3, очевидно, эквивалентна доказательству существования соотношений вида'
S70S71S+, =D,S_„ (47)
где D1 и D2 — две действительные постоянные.
ТЕОРЕМА 4. Если обе функции S+1 (0) и S^1 (0) нормированы на единицу, то в соотношениях (47) D1 = D2Ui следовательно,
S70S71S+, = DS-I, S7JS7J-S,, = DS+i. (48)
Доказательство. Метод доказательства состоит в применении леммы 4 к обоим нормировочным интегралам (29). Действительно,
л л
Di = D2i J Sli sin 0 d0 = J (S70S71S+,) (S70S71 S+i) sin 0 d0 =
О о
п
= J (S7JS7^S70S7IS+,) S+1 sin 0 d0. (49)
0
С другой стороны,
S7JS7J-S70S7IS+, = D1S7JS7^1 = D1D2Stl, (50)
и уравнение (49) дает
л
D1 = D1D2 j S+i sin 0 d0 = DiD2, (51)
0
поскольку функция S+i также по предположению нормирована на единицу. Равенство коэффициентов D1 и D2 следует из этого последнего соотношения.
ТЕОРЕМА 5. Постоянная D в теореме 4 равна
D2 = X2 — 4а2сг2 H «Т. (52)
Доказательство. Из уравнения (50) и равенства D1 =D2 (=D) следует, что для доказательства теоремы требуется прямым вычислением установить, что
S7JS7J-S70i?i = - 4а V (53)
с точностью до операторного равенства
S7JS7,+2a<rcos0 + X = O.
Заметим прежде всего, что
SetS0 = (S71 - 2Q) (set + 2Q) = S7, Set + 4аа cos 0 (54)
и, следовательно,
Set Set SB oS7, = S7J (S7I Set + 4аа cos 0) S7, = = S7O^i (-^ — 2аа cos 0) + 4аа (cos 0) S7O^i — 4аа (sin 0) ^i- (55)
70. Тождества Тьюкольского—Старобинскогд '
1І7
С другой стороны, вследствие леммы 3 из § 68 имеем StSx cos 0 = (cos 0) SlSi - (sin 0) (Si + S\) =
= (cos 0) StSi - 2 (sin 0) Si + 2Q sin 0. (56)
Объединяя полученные равенства, приходим к требуемому результату
StStS0Si = - (Л + 2аа cos 0) StSi - 4aoQ sin 0 =
= (k -j- 2аа cos 0) (k — 2аа cos 0) — 4аа (аа sin 0 -j- m cosec 0) sin 0 = = X2 — 4a2o2 — 4aam = K2 — 4a2O2 = D2 = \ V |2. (57)
Мы будем называть V и D постоянными Старобинского. Вернемся теперь к уравнениям (33) и (34). Введем обозначения Р+1 и Р_г для функций AR+1 и R_i соответственно, если их относительная нормировка совместна с этими уравнениями. Таким образом, будем писать
Ш03>0Р-1 = «7>+1, Д ®1®1Р+1 =<&*Р-Х. (58)
Первое из этих уравнений может быть переписано в виде
ЪР+1 = АФ0SD0P-I = Д (2>$ + 2ІК/А) @0Р-1 =
= A&t&oP-i -j- 2tK®oP-i- (59) Используя уравнение для функции Pmmli получаем отсюда
VP+1 = (%- 2iar) Pmml + 2iК&0Р-1. (60)
Подобным же образом из второго из уравнений (58) находим
