Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
[(г: + і2|^)(г,-іг=») +
+ д(ж,+-р-)(2)Г--1-)]ф„ = 0. (17)
Подобным же образом коммутативность операторов (i?0 -f-+ ia sin 0/р*) и Д (2)\ -f- 1/р*) позволяет исключить O1 из уравнений (14) и (15) и получить уравнение только для функции Фй
[(г0 + ії|іі)(^-іі|ив) +
+ 4 (®; +-J;-) (<?>„--Jj-)] Ф2=0. (18)
Уравнение (17) можно упростить с помощью следующих легко проверяемых тождеств:
д(а>,+-р-)(а>Г--^-)=.Д2),а>Г-Д^,
- ігі^)=ггг, + Q (19)
и соотношения
К — aQ sin 0 = р2<т. (20)
Получаем
+ 2?\3!\ — 2tcr (/- -J- ta cos 0)] Ф0 = 0. (21)
Подобная же редукция уравнения (18) дает:
[ + SP9Stf + 2to (г + ia cos 0)] Ф2 = O- (22)
112
Глава 8. Электромагнитные волны в геометрии Керра
Уравнения (21) и (22) явно допускают разделение переменных. Действительно, подстановки
Фо = R+1 (Г) S+1 (0), ф2 = R^1 (г) S^1 (0), (23)
где R±1 (г) и S±1 (0) — функции соответственно только переменных г и 0, приводят к разделению переменных в уравнениях (21) и (22), в результате чего получаем следующие две пары уравнений:
— 2ior) R+1 = XR+1, (24)
(SpO^i + 2ао cos 0) 5+1 = -XS+{; (25)
(Д2>?2>0 + 2ior) R-1 = XR-!, (26)
(&о&\ - 2аа cos 0) S-1 = — XS-1, (27)
где X — постоянная разделения.
Заметим, что постоянная разделения одна и та же и для уравнения (21), и для уравнения (22). Причина этого та же, что и в аналогичной задаче гл. 4 (уравнения (248) и (250)), где мы дали объяснение этому факту.
Уравнения, эквивалентные уравнениям (24)—(27), были впервые получены Тьюкольским. Мы будем называть их уравнениями Тьюкольского.
Заметим, также, что из сравнения уравнения (26) с уравнением (24), записанным в виде
(AS)0Sfi - 2ior) А Д+1 = X А Д+1, (28)
следует, что функции R_i и Д#+і удовлетворяют комплексносопряженным уравнениям, а функции S+i (0) и S_i (0) удовлетворяют паре уравнений, каждое из которых может быть получено из другого заменой 0 на я — 0.
70. Тождества Тьюкольского—Старобинского
Расцепление уравнений (13)—(16) и получение пары независимых уравнений с разделяющимися переменными для функций CD0 и CD2 решает задачу только отчасти, потому что, помимо того что еще не получено решение для функции O1, нужно определить относительную нормировку функций Ф0 и Ф2. Решение последней проблемы в некотором смысле имеет более фундаментальное значение: решение любой задачи линейной теории возмущений должно определяться с точностью до одного общего коэффициента пропорциональности. В данном случае требуется, чтобы при заданной амплитуде, например, функции Ф0, решение для функции Ф2 определялось однозначно, и обратно (не допускается даже произвол в виде коэффициента пропорциональности),
70. Тождества Тьюкольского—Старобинского
ИЗ
Когда Ф0 и Ф2 представлены в виде (23), то решения для функций 5+1 (0) и S_i (0) могут быть сделаны однозначными, если на каждую из них наложить требование нормировки на единицу:
л я
J S+i sin 0 d0 = j Si] sin 0 d0 = 1. (29)
О о
Однако относительная нормировка радиальных функций R+i и R_і остается при этом неизвестной.
Для полного решения уравнений Максвелла требуется, как будет видно, тщательный анализ уравнений (24)—(28) и соотношений между решениями R+1 и Rmml и между решениями S+1 и S_i, вытекающих из этих уравнений. Такой анализ был сделан Старо-бинским и Тьюкольским и привел к некоторым замечательным тождествам, которые являются основными для создания полной теории. Ниже мы получим эти тождества (правда не в том виде, в каком они были первоначально сформулированы).
ТЕОРЕМА 1. Выражение AiZ)02)0 R^1 лишь коэффициентом пропорциональности отличается от функции Д^+ъ а выражение Ді0о^оЛ^+і лишь коэффициентом пропорциональности отличается от функции R_v
Доказательство. Действуя оператором на уравнение*
(26), которому удовлетворяет функция R_i, получаем
'K3)q2DqR-\ = ?Dq2)q (AS)o^o^-i ) H- 2іоЖ)§Ф§ (гR-1) =
= ?>02>0 (А^о — 2i/C) ?DqR_\ ~J~ 2?сгл2)о®о^-1 -j- 4i3?DoR_i =
= ?>0 A^^o^oR-i - 2iS>0 (K2)0?>oR-i f 2roS>0R-i) -f
+ 2ior<2)03D0R'_i + Mo&qR^ ==
=- 2>o (A2>f + 2iK)?>q®oR-i —2UDo(K&o&oR-i)-2hr&02>oR-i =
= - 2tor) 2>o@oR-\ ¦ (30)
Следовательно, функция R_x удовлетворяет тому же самому
уравнению, что и функция R+1, и первая часть теоремы доказана. В то же время результат предыдущих вычислений эквивалентен установлению справедливости следующего тождества:
2)02>0 (АФо&о + 2«хг) = (Ь2>і2>Ї - 2ior) (31)
Тождество, комплексно-сопряженное этому, имеет вид
ф%?>1 (Д2>о2>о - 2tor) = (Ag>t?>i + 2tor) (32)
Отсюда следует справедливость второй части теоремы.
114
Глава 8. Электромагнитные волны в геометрии Керра
СЛЕДСТВИЕ. Подходящим выбором относительной нормировки функций AR+1 и /?_! можно добиться того, чтобы
b2>0SD0R-i = VbR+i, (33)
ASblSbl AR+\ = (34)
где cS — постоянная, которая может быть комплексной *.
Ясно, что требуемую относительную нормировку легко обеспечить, поскольку функции А7?+1 и R_x удовлетворяют комплексносопряженным уравнениям.
ТЕОРЕМА 2. Если относительная нормировка функций AR+1 и R_i выбрана так, что удовлетворяются уравнения (33) и (34), то квадрат модуля постоянной cS равен
