Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
а. Случай а > Gc (= —т/а) при а2 > 0. Поскольку а2 > 0, зависимость г* от г однозначна во всей интересующей нас области изменения г, а потенциалы V± из табл. 8 ограничены и короткодействующи. Поэтому волновое уравнение (164) допускает решения, удовлетворяющие следующим граничным условиям:
г(+0)
z,+a, ^ , exP Ж°г*] + Л++0) exp [—far,] при Г* — + CO,
Bi+a)exp[+tar*] при г* оо,
?(-<*)
z,_a, , exP [—іІаг»] + А+0) exP [ + ^*] ПРИ г* + °°> ^j80J
+ Bi"0> exp [—farJ при г* - OO.
Здесь введен нижний индекс «+», чтобы подчеркнуть, что рассматриваются решения, соответствующие потенциалу V+.
Поскольку и Z[+0),' и Z(+0) удовлетворяют волновым уравнениям с одинаковыми потенциалами V+, коэффициенты отражения и прохождения
R = А[+а)А{+-а), T = ВІ+а)В[-а) (181)
будут подчиняться закону сохранения
- R + T=I. (182)
С другой стороны,, соотношения между асимптотиками решений Zl+a, H Z(+0), приведенные в табл. 8, дают
А+а) - US+ltT' B^ = [ВІ+а)Т. (183)
75. Задача об отражении и прохождении волн
135
Тогда выражения для R и T в уравнении (181), могут быть переписаны в виде
R = ^ +^-K+qT. T = I B[+a)f. (184)
Отсюда следует, что RhT вещественны. Важность выражений (184) для RhT, однако, в том, что для получения решений с различными асимптотиками (179) и (180) не нужно дважды интегрировать волновое уравнение: достаточно проинтегрировать его лишь один раз, например в случае граничных условий (179).
Выражения (184) для RhT справедливы только для решений, соответствующих потенциалу V+. Если рассмотреть решения, соответствующие потенциалу К_, то получим следующие соотношения:
R = I Л-Т, T - I Bi+aT- (185)
С другой стороны, соотношения из табл. 8 дают
Л<++°> = Л1+а>> Б++а> = в1+0>- (186)
Следовательно, соотношения (184) и (185) дают одинаковые коэффициенты отражения и прохождения.
Вышеприведенное исследование проясняет, как нужно модифицировать стандартные методы решения задачи прохождения через одномерный действительный потенциальный барьер для случая, когда потенциалы комплексны, а решения, удовлетворяющие комплексно-сопряженным граничным условиям, сами не являются комплексно-сопряженными функциями.
б. Случай Gs < а < ас. В этом случае ос2 <0, но г+ > | а |. Следовательно, в нужной области изменения г зависимость г* от г остается однозначной. С другой стороны, вследствие мнимости а. потенциал (153) становится вещественным:
+ (|87)
где
CO2 - Г2 — I а I2, I ос |2 = —а2. (188)
Потенциалы вдобавок ограниченны и короткодействующи, поэтому применима теория проникновения через одномерные потенциальные барьеры, известная из элементарной квантовой механики. Следует, однако, отметить, что потенциалы V+ и V_ приводят к одинаковым коэффициентам отражения и коэффициентам, прохождения. Причина этого в том, что соответствующие ампли-1
136
Глава 8. Электромагнитные волны в геометрии Керра
Г*/М
б
Рис. 41. Потенциальные барьеры для падающих на черную дыру Керра (а— плексных потенциалов, соответствующих значениям I= 1 и т = —1. У кри потенциалов V+ и V_ в интервале частот Gc ^ a ^ Os. У кривых указаны соот
туды отраженных и прошедших волн связаны соотношениями (ср. с уравнением (186))
„ I— 2/ I CX I CT „ D D
Л+= Я + 2*|а'іа В+ = В-’
(189)
и поэтому
|Л+|2 = |Л_|2, I BJ2 = I В_|2. (190)
Хотя потенциалы, задаваемые уравнением (187), ограниченны при а > as, они становятся сингулярными на горизонте в пре-
75. Задача об отражении и прохождении волн
137
а
rjM
г
- 0,95) электромагнитных волн; а — действительные, б — мнимые части ком-ых указаны соответствующие значения ао. в и г — семейство действительных етствующие значения о.
деле о -> Os -f 0, поэтому падающим волнам становится все труднее проникать через барьер по мере приближения частоты а к значению Gs (см. рис. 41, на котором показано семейство потенциалов в интервале частот as < а < ас). В результате следует ожидать, что
R->1, Т-»-0 при g-»-gs + 0. (191)
Этот аргумент, хотя и находится в согласии с нашим предсказанием, что при о = Os начинается суперрадиадия и, следовательно,
138
Глава 8. Электромагнитные волны в геометрии Керра
коэффициент отражения становится больше единицы, т. е. R >1, не является строгим, как будет видно из результатов п. 105, а. Ho в следующем разделе мы покажем, что для а < Gs действительно R > 1, а непрерывность требует, чтобы R = 1 при а = = <V
в. Случай 0 < а < Gs. Как было показано, если а < Gs и r\ — I а I2 <0, функция г* от г достигает минимума при г — \ а | и стремится к +оо как при г -> оо, так и при г -> г+ +0. Поэтому нужно отдельно рассматривать решения для двух ветвей функции г* (г), которые, начинаясь с г = | а|, идут или к г-> оо, или к г -> г+ +0. Рассматривать отдельно решения для двух ветвей нас заставляет также и тот факт, что потенциалы (187) имеют сингулярности при г = |а|. Действительно, переписывая выражение для потенциалов V± в виде
V± = (А/й4) [X + (А/й4) [ a I (| а | ^4 г) =F 21 а | (г - М)/&*], (192)
