Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Напомним прежде всего, что (ср. с уравнением (12))
Фо = Ф« = R+iS+i ехр [і (at + ліф)],
2 (р*)2 ^2 = ^2 = R-iS-i ехр [ i(at -|- тф)],
где мы восстановили множители, описывающие зависимость от времени и угла ср. Функции Тьюкольского R+l и R_x в свою очередь
связаны с функциями У(+а> и соотношениями (ср. с уравне-
нием (105))
Д+1 = (I CD2|1/2/А)К(^>,
^1 = Iw2I1Whj), (204>
где
ш2 = г2 + a2 -F ат/а. (205)
Во избежание произвола ограничимся рассмотрением случая а > Os (когда а2 > 0) и исследованием решений Z(±or), соответствующих потенциалу V+ и удовлетворяющих граничным условиям (179) и (180). Эти ограничения не повлекут потери общности: изменения, необходимые при изучении случая а2 < 0 и решений Z(±a), соответствующих потенциалу V_, незначительны и в основном формальные.
Из асимптотик, приведенных в табл. 8, находим, что граничные условия, которым удовлетворяют решения У<±а), получающиеся из уравнения (167) и граничных условий (179) и (180) для решений ZX±a), имеют следующий вид:
- 4a2 ехр [+ ior*] — (X -f- 2оа) Л(+а> ехр [— ior%]/r2 при г-> оо,
— 4а2В<+а> ехр [+ ior^] при г-*г+ + 0,
(206)
— (X -)- 2оа) ехр [+ iorj/r2 — 4а2Л(_а) ехр [— tar*] при г-> оо,
— (X -f 2аа) В('°) А ехр [+ iorJ ю;2 [ю2 — і (г+ — M)/cr]_1 при
г^г+ + 0.
(207)
142
Глава 8. Электромагнитные волны в геометрии Керра
Напомним, что
[Л(+°>]* = [(X __ 2aa)/(k f 2аa)] Л<-а>; [В<+а>]* = (208)
(см. уравнение (183)). Из соотношений (204) теперь следует, что соответствующие решения радиальных уравнений Тьюксльского удовлетворяют следующим граничным условиям:
_ р+Т ехр [+ iar г f Rth exp [— KJT*]//-3 при гоо,
+1 I + Rl\ans exp [+ iar А при r^r+- f О,
(209)
RiJf exp [+ iar^lr -j- RrJ[sr exp [— iar*] при г-v оо,
Я-і-
^trans Д еХр iar#] при r-vr+ + 0.
(210)
Из сравнения с уравнениями (206) и (207) получаем
pine
n + 1 =
4а2,
RZi = - (X + 2аа) Л(+а), = - 4а2Л('а)
+1 = — ід-j~ zoaj/і ,
Vians = - 4а" (й+)1/? J3(+<5) ?r,ans = - [(Jt + 2ста) (й2+)1/2/Я*] В(-а).
(211)
В уравнении (211) были использованы следующие обозначения:
©3- = / + + as = 2Afr+(l-as/a), (212)
H = 5+ [й+ + і (г+ — М)/а] =
= (4М2г+/а2) (а — <rs) [(а — as) + і (M2 — а2)1/2/2Мг+]. (213) Из соотношений (211) теперь следует:
?lr,e[)
R[\nc)
(Я + 2аа)2
Гба4
I Д(+а)|
(ref)
ЯІЇ
< і П с)
16а4
(Я + 2аа)2
Л<-а) I
(214)
Вследствие связи Л(+а) и Л(~а) (уравнения (208)) получаем
Rir1e^
дЦпс)
Я2 — 4a2a2 16a4
16a4 Я2 — 4a2a2
Л(+(у)Л^а),
Л(+а)Л("СУ).
(215)
Согласно уравнению (181), коэффициент отражения R может быть задан одной из двух следующих формул:
(216)
16а4 Ri\e!) 2 Я2 — Aa2O2 ?<ref)
Я2 — 4а2а2 p(inc) ^+1 ~ 16а4 R(_inc)
76. Дальнейшее развитие теории
143
Подобным же образом находим два выражения для коэффициента прохождения Т:
T = I В<-°> I2 -
_ I n(trans) A+i 2 O ^(trans)
p(inc) 2Мл+ (a — as) o(inc) A + i
I я I2 ^(trans) 2
©2
, (217)
(8MV+/a') (a - as) [(a — Os)'1 -j- (M1 — a’)/4MV;
^Orans)
д(іпс)
. (218)
Из закона сохранения (182) теперь вытекают два соотношения:
4°‘ -I^iriI2+ ' IRtrw Г-V4IwlT1I8. (219)
X2 — 4а 2O2
- 4а2а2
16о4
№
ref) 12 +1
8Мг+ (а — Gs) 8 M VJ
(<*
\ Г/ ч2 і M2— а2
Os) (а — а5) +
XI RTns) I2
4МЧ\ ^(Inc) |2
X
(220)
фактически эквивалентные тождеству (139), которому удовлетворяют вронскианы, что несложно показать, если воспользоваться тождествами Тьюкольского—Старобинского.
Хотя мы и ограничились случаем а2 > 0, легко убедиться, что формулы (216) и (217) справедливы в общем случае без каких-либо ограничений. Заметим также, что в согласии с результатом, полученным в п. 75, ву
T < 0 при or < oSJ (221)
т. е., как и предсказывалось, имеет место суперрадиация.
а. Следствия условия унитарности. Ясно, что мы должны прийти к тем же самым коэффициентам отражения и прохождения R и Т, если будем искать решения для Z(±a), удовлетворяющие граничным условиям
Z(Hs) J С<+СТ> exP ior*] + exP (+ ior^ ПРИ r ^ г+ + °> (222)
I ?)(+a) ехр [—ICrrsf.] При Z--VOO,
С<-а> ехр [+ ior] + ехр [— ior*] при Г -V г+ + О,
Z)('a> ехр [+ ІОГ*] при г—> OO
z<-a> ¦
вместо граничных условий (179) и (180). Вместо соотношений (183) теперь получим
[?(+tf)]* [D(+(T)]*
C(-G)
р{'0)
X — 2a a X + 2aa ’
(224)
144
Глава 8. Электромагнитные волны в геометрии Керра
а коэффициенты отражения и прохождения будут равны
I X + 2а о 1
R = -
C(+G)C(-G)
T =
X zb 2 ос о
\С(±0) |2
С(±о)
(225)
(226)
Имея решения для Z(±a), удовлетворяющие граничным условиям (219) и (220), можно теперь показать, как и в случае, рассмотренном выше, что соответствующие решения уравнений Тьюкольского удовлетворяют следующим граничным условиям:
}^йпс) ехр [— IOT*] + R^ ехр [-f аг*]/Д при г^г+ + О,
^+1 ) n(trans)____г л ,JJ
R
+і
ехр [—ior*]/r при г-
R-I-
где
R(Jnc) еХр [— ІОГ%\ _|_ до-еО Д еХр Iar^ ^OransJexр [— Ior^
