Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
ric)00 ПРИ г~^°о, Лс) —00 ПРИ /'->r+-f0. (264)
Из сравнения уравнений (111) и (263) следует, что, хотя г* -> -> г[с) при Г -> оо, при приближении к горизонту
/**->(1 am/2Mr+o) r[c) = (I — os/o)r{c^ при (г-*г+ + 0). (265)
В соответствии с этим выбранное нами представление для входящих волн на горизонте имеет следующий вид:
ехр [І (о — Gs) Г+ tG/J = ехр [i (kr[c) + G/)), (266)
где
k — G — os. (267)
Таким образом, групповая скорость волн на горизонте равна
^gr = —do/dk = —1. (268)
150
Глава 8. Электромагнитные волны в геометрии Керра
Для фазовой же скорости получаем выражение
Uph = —cfik = — (I — Cf8Iay1. (269)
Следовательно, наблюдатель в любой локальной системе отсчета будет видеть волны, идущие к горизонту (со скоростью света!), но это не всегда так для наблюдателя на бесконечности, который регистрирует фазовую скорость. Для наблюдателя на бесконечности волны, описываемые уравнением (266), будут представляться движущимися по направлению к черной дыре, только если
о > Osy но если а лежит в интервале частот, суперрадиации этот наблюдатель будет видеть волны, исходящие из черной дырыу что и свидетельствует о супер радиации. Во всяком случае, единственное физическое требование, которое нужно накладывать на входящие волны, —это отрицательность групповой скорости, этому требованию удовлетворяет представление (266).
Итак, асимптотика (261) решений для R+lJ представляющих входящие волны на горизонте, полностью удовлетворяет всем физическим требованиям. Примечательно, что выбор переменной г* и следующий за этим анализ, оказывается, обеспечили все необходимые свойства.
77. Общие замечания
Решение уравнений Максвелла, проведенное в предыдущих параграфах, дает первое впечатление об аналитическом богатстве пространства-времени Керра. Здесь мы кратко повторим основные моменты.
В определенном смысле наиболее замечательным фактом является возможность разделения переменных в уравнениях, записанных в формализме Ньюмена—Пенроуза. Это сразу же раскрывает преимущество записи уравнений в такой системе отсчета, которая на фундаментальном уровне учитывает и использует алгебраическую структуру пространства-времени. Заслуживает внимания также то обстоятельство, что при разделении переменных появляются новые функции, отличные от всех известных ранее трансцендентных функций классического анализа. В частности, угловые функции параметрически зависят от частоты ст. Это становится очевидным, если переписать уравнение для S+1 (0) в развернутой форме:
TEo- “сіїг ( sin ® ') "Ь ~’ 2ясгт — а2а2 sin2 0 + 2aa cos 0 —
— (m2 -f-l-{-2т cos 0)/sin2 0] S+1 = 0. (270)
(Уравнение для S_x (0) получается просто изменением знака членов с cos 0 в уравнении (230).) Только в случае равенства нулю а (или а) функция S+1 (0) сводится к классической трансцендентной функции — к функциям Гегенбауэра или, как их
77. Общие замечания
151
часто называют, спиновым гармоникам. Появление параметра ао в угловых функциях означает, что нельзя обсуждать вопросы устойчивости на основании только структуры радиальных функций.
Удивляет не только возможность разделения переменных в уравнениях. Появление пары функций (которые мы обозначили индексами +1 и —1), связанных между собой посредством тождеств Тьюкольского—Старобинского, также окутано тайной. Конкретно имеется в виду следующее: если обе угловые функции нормированы на единицу, то S+1 (0) = (я — 0). Ho почему эта «дискретная симметрия», возможно, и «понятная», должна присутствовать в тождествах Тьюкольского—Старобинского? Тот же вопрос возникает и в отношении радиальных функций А^+1 и R^1, которые удовлетворяют комплексно-сопряженным уравнениям. Важным, а также и необходимым, каким оно появляется в нашем исследовании, следствием тождеств Тьюкольского— Старобинского является и то, что производные функций R+l и R^1 и 5+1 и могут быть представлены в виде линейных комбинаций соответственно функций R+1 и R^1 и 5+1 и S_v И наиболее таинственным является тождество, связывающее постоянные Старобинского для радиальных и угловых функций.
Много вопросов возникает и в теории преобразований, развитой в § 73. Является ли, например, значимым тот факт, что функции У*±а> связаны «дуальным» преобразованием, приводящим к паре потенциалов, которые дают одни и те же коэффициенты отражения и коэффициенты прохождения? В случае пространства-времени Шварцшильда или Рейсснера—Нордстрема существование дуальных преобразований было связано с наличием физически различных классов возмущений (аксиальных и полярных). Существует ли соответствующее физическое разделение возмущений и для пространства-времени Керра?
Есть и другие аспекты, относящиеся уже к деталям. Например, элементарная теория проникновения через барьер, знакомая из квантовой механики, поворачивается здесь новой гранью: как может комплексный потенциал описывать упругое рассеяние и как действительные потенциалы с сингулярностями приводят к суперрадиации.
Исследуя в следующей главе гравитационные возмущения, мы увидим, что все описанные особенности метрики Керра и многие другие возникнут в еще более пышном обрамлении.
