Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
при Г-при Г-
(227) -г+ + 0,
оо,
(228)
R+Г = - [(А. + 2аа) (й2+)1/2/Я]С
(+в)
д(іпс) __
4а2 (й+)1/2 С(~а)
Rl?0
4а2(й+)1/2
^trans) = __ (Х +,2аа) ?)<+а)> ^(trans) = _ (22Э)
Из предыдущих уравнений находим, что коэффициенты отражения и прохождения теперь равны
R = •
X2 — 4а2 а2 D(Tef) 2 _ 16а41 H I2 fljref)
16а4 I H I2 p(inc) ^ + 1 ~~ X2 — 4а2 о2 д(іпс)
T
А 2
Itfl2
p(trans) ^+1________
Ri\nc)
?>(|rans) |2
R(Jnc)
(230)
(231)
Наконец, обратим внимание на то, что асимптотики решений уравнений Тьюкольского R+1 и R^1 можно было бы получить по известному асимптотическому поведению ехр (driar*) решений Z(±a) одномерных волновых уравнений. Эти асимптотики, которые можно «вычитать» из первых строчек уравнений (209), (210), (227) и (228), получаются также и из самих уравнений Тьюкольского, но путь от этих асимптотик к выражениям (216)—(218) и (230)—(231) для коэффициентов отражения и прохождения не является ни прямым, ни легким (CM. п. 76, б).
б. Прямое вычисление потока излучения на бесконечности и на горизонте событий. Понятия отражения и прохождения волн через потенциальный барьер при наличии связанного с этими процессами закона сохранения столь естественны, что не могут
76. Дальнейшее развитие теории
145
не иметь простой физической интерпретации. Это мы неявно предполагали, начиная с § 75. Покажем теперь, что это действительно так.
Для этого нужно вернуться к выражению для тензора эиер-гии-импульса (в данном случае тензора энергии-импульса максвелловского поля) и установить следующие факты. Во-первых, нужно показать, что при г -> оо существует предел
Iim г2Ти (232)
А* —> OO
т. е. компонента Trt тензора энергии-импульса на больших расстояниях убывает как 1/г2, что соответствует картине распространения волны и, кроме того, что поток энергии на бесконечности (в единицу времени и в единице телесного угла), вычисленный
для уходящих (т. е. отраженных) и для приходящих (т. е. па-
дающих) волн, равный по определению
тж = 1ш/г<- (233)
приводит в точности к полученным ранее значениям коэффициента отражения IR. Во-вторых, требуется показать, что на горизонте величина
Tlli (t)&Z j (234)
(где ? (t) — времениподобный вектор Киллинга фонового пространства-времени, a dS/—элемент трехмерной поверхности горизонта, ортогональный радиальному направлению внутрь), вычисленная надлежащим образом, приводит к тому же значению коэффициента прохождения Т, что и выведенное выше.
Выраженный через максвелловские скаляры тензор энергии-импульса в формализме Ньюмена—Пенроуза имеет следующий вид (ср. с уравнением (339) гл. 5):
4лTi1 — {фофоПіП} -j- 2</>1</>Г \l(itij) -j- M(Ifhj)] —
- Цоф\ЩіГПП — 4ф*ф2Iaml) -f 2ф2фотіті] +
+ Комплексно-сопряженные члены. (235)
Подставляя сюда для базисных векторов выражения из гл. 6 (уравнения (170) и (173)), получаем, что величина, которая нам нужна для вычисления коэффициента отражения IR, равна
Iim (г2/2л) (- V4Mo* + ^f2)- (236)
Г-> OO
Для скаляров ф0 и </>2 имеем решения (ср. с уравнениями (70))
Фо = R+1S+1, ф2 = [1/2 (р*)2] RmmlS^l9 (237)
где угловые функции S+1 и S_x нормированы на единицу, а относительная нормировка радиальных функций R+1 и Rmml согла-
146
Глава 8. Электромагнитные волны в геометрии Керра
суется с уравнениями (33) и (34), следовательно, мы знаем все величины, входящие в уравнение (236). Отсюда находим, что поток энергии на бесконечности равен
/J!?A =
\ At dQ /оо
= Iim (г2/2л) {- V4S+i [R(+\0)R[7а)] + (1/4г4) Sh (238)
Г -> оо
Формулы (209) и (210) показывают, что уравнения Тьюкольского допускают решения, для которых предел (238) существует. Действительно, учитывая определения коэффициентов R(+\nc) и R(?*f) в формулах (209) и (210), имеем
C|2?(inc) \ ^2
' ^4-№с’+а)^У,пс'-0)]
dt dQ J00 2я 4
d2?(ref) \ Si
(239)
-і
d/dQ In 2я
[Ri ref, +а) /^(ге
Подставляя для коэффициентов 7?^пс’ +а) и т. д. выражения (211),
находим из предыдущих уравнений после интегрирования по
углам коэффициент отражения
R = Л(+а>Л(-а>, (240)
что находится в согласии с выражением (181), выведенным при исследовании одномерных волновых уравнений для функций Z(±a).
Для вычисления потока энергии (234) через горизонт событий выражение для тензора энергии-импульса в базисе, которым мы пользовались до сих пор (определенном формулами (170) и (171) гл. 6), не годится, поскольку вектор 1 сингулярен на горизонте (где А равно нулю). Чтобы найти базис, свободный от сингулярностей, мы, следуя Хартлю и Хокингу, подвергнем базис, определяемый формулой (170) гл. 6, вращению из класса III (п. 8, ж), для которого А = 2 (г2 -f а2)/Д. Это вращение не влияет на векторы m и т, в то время как векторы 1 и п переходят в векторы
1 А о,
2 (л2 + а2) 1
2 ’ 2 (г2+ а2) ’ ’ 2 (л2 + а2)
2 (г2 + а2)
n -J---^-T1—- п =
(л2+ а2)2 (л2+а2) л л (л2+ а2)
р2Д ’ р2
(241)
Вдобавок перейдем к координатам Керра—Шилда (п. 57, а), произведя преобразование
