Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, в калибровке, которая восстанавливает симметрию уравнений (7)—(12), вейлевские скаляры W1 и Ws удовле-
81. Тождества Тьюкольского—Старобинского
159
творяют тем же уравнениям, что и максвелловские скаляры </>0 и </>2, описывающие распространение электромагнитных волн в геометрии Керра. В гл. И (§111) мы покажем, что в калибровке, которая окажется наиболее подходящей для исследования возмущений заряженной черной дыры Керра—Ньюмена, снова появятся уравнения (29) и (38), которые в настоящем параграфе были постулированы из соображений симметрии.
81. Тождества Тьюкольского—Старобинского
Функции Л2/?+2 и и функции S+2 и S_2 удовлетворяют тождествам, аналогичным полученным в гл. 8 (§ 70). Доказательство этих новых тождеств (в отличие от установленных в § 70) требует гораздо более сложных алгебраических преобразований. Ho ввиду их решающей роли для построения полной теории мы, помимо формулировок, укажем основные этапы доказательств.
ТЕОРЕМА 1. Функция
Д2^)о^о^оЗД-2
лишь постоянным множителем отличается от функции Л2/?+2, а функция
A2i?5ji2>o+0o0oA 2#+2 лишь постоянным множителем отличается от функции R^2-
Доказательство. В силу уравнений (22) и (24), которым удовлетворяют функции R_2 и А2/?+2, теорема эквивалентна установлению справедливости тождества
Д20о2>о^о^о (Л^-1^о + 6 ior) =
= - бг'от) Д2^о2>о0о0о> (39)
а также комплексно-сопряженного тождества.
Доказательство тождества (39) состоит в последовательной редукции его левой части; главные моменты этого процесса следующие:
0000^0^0 + 6/сгг) =
= (SDo^o^o^o Л^-1 + 6іог?>о?>о?>о + 24ior0o0b) @0 =
= [^о^о^о^оЛ - 2 (іК + г - М) -
— Wior?>o0o — 8ZD0SDо] =
= [Д^>о0о + 6 (г - М) ®о - 2І/С0О - Юга/- + 4] =
= (Д^>і^2 — 6ior) ФоФоФоФо- (40)
160
Глава 9. Гравитационные возмущения черной дыры
СЛЕДСТВИЕ. Выбором относительной нормировки функций A2R+2 и R^2 можно добиться выполнения соотношений
Д20о0о0оЗД-2 = 2Я+а, (41)
= «?*Д_ 2, (42)
гдг ^ —некоторая комплексная постоянная.
Указанная относительная нормировка действительно может быть найдена, поскольку функции A2R+2 и R^2 удовлетворяют комплексно-сопряженным уравнениям.
ТЕОРЕМА 2. Если относительная нормировка функций A2R+2 и R_з выбрана так, что удовлетворяются уравнения (41) а (42), то квадрат модуля постоянной cS равен
|«?|а - (Я + 2)2 — 8O2I Ia2 (5Ь + 6) — 12а2] +
+ 144сг4а4 + 144сг2М2, (43)
где
а2 = а2 ат/о. (44)
Доказательство. Очевидным следствием уравнений (41) и (42) является соотношение
А2Ф\2)Х2)1®1 A*@o@o2>o?>oR-2 = IVI2 R-2- (45)
Таким образом, по модулю операторного соотношения
A^XLi + Sior = А,
имеем
= I^I2, (46)
и значение (43) для IiJPI2 должно следовать из прямого вычисления левой части, хотя это и не простая задача.
Установим прежде всего, что по модулю операторного равенства A^Xli^o + Qior = 1K справедливы следующие тождества:
Д0О^)О = 2(iK + г — М) ?>0 +(X — Ыаг), (47)
A2iZ50®o®o = [4t/C (іК + /• - М) + (К + 2 + 2iorr) A] +
+ 2iK (h — Qior) — QiaA, (48) A30o0o2>o2>o = SiK [К2 + (Г - Mf J +
+ [4г7<С (Я + 2) -f- 8г'сгг (г — М) ] А — 8г<тД2} +
+ [(A, 2 2гаг) (Я — бг'аг) — 12г'ст (iК — г М) ] А +
+ MK (iK — г + М) (Я — Qior) = А02>0 + B0. (49)
Затем четыре раза последовательно подействуем оператором S)L\ на тождество (49) и воспользуемся рекуррентным соотношением
&U (Ап&о “Ь Bn) = (An. г -(- Bn) -|-
+ (1/А) [(Я - Qiar) An - 2 (iK + г - М) Bn + ABn, г] =
= Ап-\-\2?>0 Вп^\. (50)
81. Тождества Тьюкольского—Старобинского
161
Получаем
A1 = [X (А, 4- 2) 4- 4iar (X -f 3) + 12aV2 — 12гсг (Щ г — М) ] А +
+ MK (iК + г — М) (X + 6((7/-), (51)
B1 = 2iK (X2 + 36(JV2) — 12(оХА;
A2 = —8ї<т (X + біот) А — 24ia IK2 + (г — M)2] +
+ 2 (ІК + г — М) (X + Шг) (X + 2 + 2('ог), (52)
Вг = (X2 + 36a2r2) (X + 2 + 2('err) + 12(0 (X — 6iar) (і/f — г + М); Л3 = 48сг2А + (X + Ыаг) [(X + 2)2 + 4а?Ч —
— 12/а (г — М) (X + 2 — 2(Or) — 4а/( (7Я, + 6 + Шаг), (53) B3 = —6('о (X + 6('аг) (Я 4- 2 + 2iar) 4- 72а2 (t/C — г 4- М);
Л4 = О,
Bi = (1/А) [Xі (X + 2)2 — 8а2Х [а2 (5Х + 6) — 12а2] +
4- 144а2 (M2 4- а2а4)}. (54)
Последняя строчка и дает нам значение постоянной Старобинского
Важно отметить, что мы определили только значение квадрата модуля I ^ |2, а аргумент этого числа пока остается неизвестным.
ТЕОРЕМА 3. Функция
лишь постоянным множителем отличается от функции S^2, а функция
ZtlZtZtetS-X
лишь постоянным множителем отличается от функции S+2.
Доказательство. Очевидно, теорема эквивалентна доказательству тождества
Z-IZ0ZiZ2 (Zt IZ2 4- 6aa cos 0) =
= (Z-xZt - баа cos 0) Z^Z0ZxZ2 (55)
и сопряженного ему, получаемого заменой 0 на я — 0.
Последовательно преобразуя левую часть тождества (55), имеем
Z-XZ0ZiZ2 (ZtxZ2 + 6aa cos 0) =
[ = [Z-xZ0ZiZ2Zti + бааcosdZ-iZ0Zi -
— 24aa sin QZ0Z i]Z2 =
I = [Z-xZ0ZxZt + 2aa cos 0^-1^0-
f 6 Чандрасекар C , т. 2
162
Глава 9. Гравитационные возмущения черной дыры
— 12a0sin QS0 + 2S-iS0] SiS2 =
