Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
- [1/p2 (p*)3] 2>U [p4 (p*)2 F42] + (2ia cos 0/p’) (Fi - Fl) +
+ (/2/p*) ia sin QpF43 + [/2/(6*)2] ia sin 0^ (41, 1)-(42,2),
2 (e - e’)(,) = (/2/Ap2) S-x (p4Fl) - (/2/Ap2) <?t, (p4F^) -
- <2>o UJ - Л!) + (2 / 2/A) iar sin 0 (F| + F?) (41, 4) - (31, 3),
2 (v - УУ" = Cl /2 (p*)4] S-x [(p*)4 F2] -
- [1//2((5*)1] [(p)4 Fl] - (A/2p2)jZ>0+ Ui - ЛІ) +
+ (2/oA cos 0/p4) (F2i - Л2) - (/2/p2) iar sin 0 (F? + Fj) (42, 3) - (32, 3), (Y + 7*)'° = Al (2^-) + (/ 2/p2) iar sin 0 (F? - F4i) --(M2p2)SDtA\~M2x (21,1), (e + e‘)(1) =+(2 /2/A) iar sin 0 (F| - Fj) -
- (2 /2/A) a2 sin 0 cos 0F - x/2 A^f (Л2/р2) - ^0/!2 (21, 2), (a-P*)(l) = — (2/acos0/p*) (F3 — F2) — / + (l//2p*) S0Al — -(1/2) 2? (Дз/р) - [A4JY2 (p*)2] (p*ctg 0 - ia sin 0) (43, 3)
(119)
(Уравнения для (a* + (З)*1* и (a* — |3)(1) не были включены сюда, поскольку они сразу же следуют из уравнений для (a -|- P*)*1* и (а — р*)0).)
85. Редукция системы I
Исключая величину T из первых четырех уравнений системы
I (уравнения (116)), получаем пару уравнений
2)\\F + <2>оG = (2ia cos 0/р2) ( J - Н), (120)
SxH - SU = ~(2iar SinQlp2) {F + G), ¦ (121)
где F, G, J и H определены уравнениями (94).
85. Редукция сисгцемы I
175
Вычитая далее уравнение (21, 4) из уравнения (21, 3) и складывая уравнения (43, 1) и (43, 2) получаем другую пару уравнений
Sbl (F13 - F\) + Sb0 (Fl -Fl) = - 2irT sin 0 + (2ia cos 0/р2) (J + H),
(122)
Si (Fl + F$-S\(F\ + F$) =
= + Ti AT cos 0 + (2iar sin 0/p2) (F — G). (123)
Подобным же образом, складывая и вычитая соответствующие уравнения, мы можем заменить вторую группу из четырех уравнений системы I эквивалентной системой
00 (F\ + Ff) - 2)1 (Fl + Ft) = (2ia cos 0/р2) C1 -f (/2/p2) dU/dQ, (F\-F\) -ФІ (Fl-F\) =
= - (2ia cos 0/р2) (F + G) - (/2/р2) QU, (124) Si (F\ + Fl) + St (Fl+Ft) =
= (2iar sin 0/p2) (J-H) + (/2/p2) iKV,
Si (F\ - F42) + S\ (Fl - Fl) = (2iar sin 0/p2) B2 + (/2/p2) AdV/dr.
Полезно переписать уравнения (122)—(124) в альтернативной форме
(//С/А) C2 = dCJdr + 2irT sin 0 - (2ia cos 0/р2) (J + H), (125)
QB1 = - (d/dQ + ctg 0) B2 + 2і AT cos 0 + (2iar/p2) sin 0 (F - G),
(126)
(iK/А) B1 = (2ia cos 0/p2) C1 - d (J + H)/dr + (/2/p2) <51//00, (127)
(ШД) B2 = - (2w cos 0/p2) (F + G) + d(J - H)ldr - (/2/p2) Q?/,
(128)
QC1 = — (2mrsin 0/p2) (/ — H) +
+ (d/<?0 + ctg 0) (F -f G) - (/2/p2) і К V, (129) QC2 = — (2iar sin 0/p2) B2 + (5/<30+ ctg 0) (F — G) — (у7 2/p2) AdVIdr,
(130)
где B1, B2, C1 и C2 определены уравнениями (94).
Можно показать, что не все из восьми уравнений (120), (121) и (125)—(130) являются независимыми: уравнения (127) и (130), например, могут быть выведены из остальных шести уравнений. Заключаем отсюда, что только шесть из восьми уравнений системы / являются независимыми. В качестве основных уравнений выбе-
176
Глава 9. Гравитационные возмущения черной дыры
рем (127)—(130) и уравнения (120) и (121). Последние два уравнения могут быть записаны и в другом виде:
(і К/ A) (F-G)=d(F + G)/dr - (2 ia cos 0/р2) (J — Н), (131)
Q(J j^-H) = ((9/(90 + ctg 0) (J — H) — (2шг sin 0/р2) (F + G). (132)
Из уравнений (127)—(132) следует, что величины B1, B2, C1, C2, F — GwJ + H могут быть выражены через величины F -f G,
J — Я, U и У. В конце концов окажется, что функции UwV остаются неопределенными; их можно положить, например, равными нулю, использовав тем самым две из оставшихся четырех калибровочных степеней свободы.
Ниже также выяснится, что уравнения (131) и (132) играют самую важную роль в дальнейшем развитии теории.
86. Редукция системы II; условие интегрируемости
Складывая и вычитая уравнения, можно заменить систему II (уравнения (118)) следующими четырьмя парами уравнений:
/2Qp2Fl + 0_,р4 (Fl - Ft) + 2Iap2F cos 0 = V2 А (р V - рх), (133а) /2Qp2F2 - S>!,p4 (F31 - F\) + 2iap2G cos 0 = - (2р4/Л) (p*v - pv‘); /2p2 (OF1JdQ) - <0V (F32 + F42) +
+ 2iap? (Fi3 — F4) cos 0 = !/a A (p*x* -f P*)> (1336)
/2p2 (OF2lIdQ) + (F3 + Ft) + 2шр2 (Ft - F2) cos 0 =
= — (2p4/A) (p*v + pv*);
- iKp*Fl + (1//2) 57V (F\ + Fl) - V1Iiarp2H sin 0 =
= (p)2 (p2X* — A a/2), (133b)
- IKp4Ft3 + (1//2) <?_,p4 (Fi + Fl) + /2iarp2J sin 0 =
= (P*)2 (P2^ — Aa*/2);
- p2 A (dp2F3Jdr) + (1//2) (Fl - F24) +
+ /2mrp2 (F31 + F23) sin 0 = - (p)2 (pV + Aa/2), (133r) -P2A (Op2FtIdr) + (1//2) J2V (Fi3 - Ft) -
- /2iarp2 (Ft -f Ft) sin 0 = - (p*)2 (p\ + Aa*/2).
86. Редукция системы II
177
Далее, складывая уравнения в каждой'из четырех пар (133) и воспользовавшись соотношениями (127)—(130) для дальнейшей редукции, получим четыре уравнения:
(QlV 2) (Fl + F21-U) + Д1/2а [р2 (/ - Н)/Аи2]/дг =
= (1/2р2) [(Д/2) (р*х* — рх) — (2р4/Д) (p*v — pv*)], (134)
• (1//2) д (Fl + F21- U)/dQ + Д1/2а [р2 (/ + Н)/А1/2]/дг =
= (1/2р2) [(Д/2) (р*х* + рх) — (2р4/Д) (p*v 4- pv*)], (135)
- (iK/Y2) [р2 (F* -t- Ft) + V) + d [p2 (F + G)]/dQ =
= (l//2p2) I(P)2 (p2^* - Aa/2) + (p*)2 (p2X - Д(т*/2)], (136)
(Д//2) д [р2 (F3i + Ft) -f VMdr - д [р2 (F - GftIdQ =
