Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Чандрасекар С. -> "Математическая теория черных дыр Часть 2" -> 58

Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.

Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр Часть 2 — М.: Мир, 1986. — 355 c.
Скачать (прямая ссылка): matteoriyachernihdir1986.djvu
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 126 >> Следующая


(I) = tnv (I, + r (I)nV _ mn-v О) _ -H (OmV +

_|_ Iv 0>ПН + (!) _ mv (D—М. _ -VmH (О (96)

Вычисляя различные компоненты ^liv (1) в соответствии с вышеприведенной формулой и используя уравнение (92) настоящей главы и уравнение (170) гл. 6, находим

«" + Al) - (ЛІ+ЛІ) +

+ + fS s1“! е +

+ (/2/Л) ia (Г2 + а2) (Cl + B2) sin 0, Г(1) = - (Л/р2) (А\ + Al) + (д/р2) (Fj + F?),

gee<0 = _ (l/p2)(i43+i44)_(fa + f4a)>

e** <«> = (а2/р2Д) (л! + A22) - (1/Р2) (л| + At) cosec2 0 +

+ (а2/р2Д) (F12 + F?) + (F| + F*) cosec2 0 +

+ (/2/Д) ia (Cl + B2) cosec 0, (1> = - (г2 + a2) (F12 - Ff)/р2 + ia sin 0 (Я - J - C2)// 2, g'9 (1) = ia (F| - F3) sin 0 + (г2 + a2) (F + G - В,)Д// 2,

г„ = а ^ + «1 (д, + М) _ _а_ (4 + л!) +

+ a (F\ + F Ї) + a (Fj + F$) +

+ (і/Д /2) [(г2 4- а2) -f a2 sin2 0] (Cl 4- B2) cosec 0,

/6(1) = -(F- G + / 4- Я)//2,

<•> = _ (а/р2) (7?* _ f 2) + 2) (Я _ / _ с2) cosec 0,

ge<p (1) = і (F| - F3) cosec 0 + (a/Д /2) (F + G - 5,). (97)

Итак, возмущения метрических коэффициентов зависят только от следующих 10 комбинаций матричных элементов матрицы А:

А\ + Al, Al -f- At, F2 =t F\, F^ Чц Fз, Ci + B2,

H — J — C2, F G — Bi, F — G J H• (98)
83. Линеаризация тождеств Бианки

169

в. Сводка подлежащих определению величин, имеющихся для этого уравнений и допустимого калибровочного произвола. Величины, перечисленные в списках (1) и (2), требуют для своего определения десять действительных функций для описания пяти комплексных вейлевских скаляров, 24 действительных функций для описания 12 комплексных спиновых коэффициентов и 16 действительных функций для описания матрицы А: всего 50 действительных функций. Используя свободу в выборе калибровки, мы можем наложить 10 калибровочных условий. Из этих десяти степеней свободы шесть соответствуют выбору локальной тетрадной системы отсчета, а четыре являются следствием общей ковариантности теории.

Как было подробно показано в гл. 1 (§8), формализм Ньюмена—Пенроуза дает три системы уравнений: тождества Бианки, коммутационные соотношения и тождества Риччи. Считая, что каждое комплексное уравнение эквивалентно двум действительным уравнениям, имеем 16 уравнений, представляющих тождества Бианки (для вакуумных полей, которые мы здесь рассматриваем), 24 уравнения, представляющих коммутационные соотношения, и 36 уравнений, представляющих тождества Риччи (или только 20, если мы учтем 16 исключающих соотношений — уравнения (311) гл. 1). Следовательно, у нас есть 76 уравнений для определения 50 действительных функций, на которые мы можем вдобавок наложить 10 калибровочных условий.

Мы уже использовали четыре из шести тетрадных степеней свободы, предположив, что

Y1 = = о (99)

и получив отсюда решения (25)—(28) для спиновых коэффициентов

х, сг, ^ и V. Используем теперь две из четырех координатных

степеней свободы, предположив, что возмущение вейлевского скаляра W2 также равно нулю, т. е.

= 0. (100)

После этого у нас есть еще четыре калибровочные степени свободы.

83. Линеаризация остальных тождеств Бианки

Четыре из восьми тождеств Бианки (уравнения (3) и (4)) мы уже использовали. Оставшиеся четыре тождества (уравнения (3216), (321 в), (321е) и (321ж) гл. 1) имеют вид

DY2 = 3pY2,

б Y2 = 3tY2, б* Y2 = —Зл?2,

если пренебречь величинами второго порядка малости XY0, xY4) vY0 и <xY4. Уравнения (101) обладают замечательным свойством:
170

Глава 9. Гравитационные возмущения черной дыры

(103)

в калибровке Y1 = xY3 = 0 они формально совпадают с уравнениями в стационарном случае и справедливы с точностью до величин первого порядка малости (включительно).

Поскольку xF2 = —M (р*)-3 и мы выбрали такую систему координат, в которой = 0, линеаризованные уравнения (101) имеют следующий вид:

р(1) =-11 (1)1пр*; и(1) = 12(1)Inp*;

т(1) = — 13(1) Inp*; я(1) = +14(1) Inp*. (102)

Используя соотношения

I1 In р* = D In р* = (р*)-1; I2 In р* = Д In р* == [л;

I3 In р* = б In р* = — т; I4 In р* = б* In р* = -f- л и матричное соотношение

Г‘(1) = AijV, (104)

получаем развернутую запись уравнений (102):

Р0> - - (Al/Р* + Aiix - AlT + AU) = - M0Vp**

= -f (AMP + Aln - A23T + AU) = ДМ(2)/2р2р\ (105) т<‘> = - (Л?/р* + A2pL - Alx+ AU) = - М(3), я(1) = + (AMр* + Atix - Alx + AU) = (р/р*) Mw,

где

м(1) = + ЛІ-Fl + la/2 (P2M)Z=1SinO, М<2) = -A22-^-F2l + ia /2 (р2/А) G sin 0, М(3) = H + (ia sin 0//2) (F3i + Ahp2), Mw = J + (ia sin 0//2) (Ft + At/p2).

Приведем здесь для дальнейших ссылок уравнения, которые являются следствием уравнений (105):

(106)

/ * . ч (I) 2mcos0 „4 , ZaAcosG „4 _/^iarsm (
84. Линеаризация коммутационных соотношений

171

Итак, тождества Бианки (101) позволяют выразить возмущения спиновых коэффициентов р, т, (ы и я через возмущения базисной тетрады, если выбрать калибровку, в которой Wo{) = 0.

84. Линеаризация коммутационных соотношений.

Три системы уравнений

В краткой «скобочной» записи коммутационные соотношения принимают следующий вид:

[I', I'] = CLiIk, (108)
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 126 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed