Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
= {S -iS 0S\ — 2aocosQS-i + 2S-i — 4a0sin 0] S0SiS2 =
= (#-,2? - 6aocos0) S-XS0SXS2. (56) При этом были использованы следующие тождества:
S2Sll = 5? - 4acr cos 0 -f- 2,
= StSo — 4a0cos0,
(57)
SoSt = SiS-1 - 4аа COS 0 - 2,
S-iS0S-\ = S-iStS.i — 4ааcosQS-і - 2S- , + 4aasin 0.
Последний шаг преобразований (56) устанавливает справедливость тождества (55) и, следовательно, справедливость теоремы.
Альтернативная формулировка теоремы 3 состоит в утверждении справедливости соотношений вида
S-iSqSiS2S+2 = DxS-2, SUStStStS-Z = D2S+2, (58)
где D1 и D2 — две действительные постоянные.
ТЕОРЕМА 4. Если функции S+2 (0) и S_2 (0) нормированы на единицу, то в соотношениях (58) D1 = D2 и
S-iS0SiS2S+2 = DS-2, SUstS\S\S-2 = DS+2. (59)
Доказательство. Доказательство следует из теоремы 4 гл. 8, если четыре раза последовательно применить лемму 4 (§ 68) к нормировочному интегралу
я
D2 = Di J S-2 sin всів =
о
я
= j (S-XS0SxS2S+2)(S-XS0SxS2S+2)b\nQM =
О
я
= J S+2 (S-xStSxS2S-xSoS\S2S+2) sin 0 d0 =
О
я
= Dx D2 J S+2 sin 0 d0 = Dx D2, (60)
0
откуда и следует равенство D1 и D2.
ТЕОРЕМА 5. Постоянная D в теореме 3 равна D2 = K2 (X + 2)2 — 8G2X Ia2 (5Х + 6) — 12а2] +
+ 144a4a4 - |^|2 — 144а2М2. (61)
81. Тождества Тьюкольского—Старобинского
163
Доказательство. Величина D2 должна получаться в результате прямого вычисления тождества
SUStS^StS ^1S0S1S2 = D2, (62)
справедливого по модулю операторного равенства S*L\S2 + бает cos 0 = —X
и следующего, из уравнений (58) (это тождество фактически было использовано в предпоследней строчке преобразований (60)). Прямое вычисление тождества (62) является непростой задачей. Мы здесь представим только основные этапы этого вычисления. Прежде всего с помощью рекуррентного соотношения
SnS2 = — (Я + 6ао cos 0) + [2Q (п -f I) ctg 0 ] S2 X
X mod S-1S2 + 6ао cos 0 = —X (63)
находим
S1S2 = ~ (X + 6ао cos 0) + 2 (Q + ctg 0) S2, (64)
S0S1S2 = [басг sin 0 — 2Q (X + б ао cos 0) ] +
+ [— (X + 2) — 2ао cos 0 + 4Q (Q + ctg 0) ] S2, (65)
S^S0S1S2 = (X б ао cos 0) (X + 2 — 4 Q2 +
4Q ctg 0 — 2ао cos 0) -f 12аа (Q sin 0 — cos 0)
-f [8асг cosec 0 — 4Q (Я -f 2 — 2Q2 -)- 2 ctg3 0) ] S2. (66)
Затем подействуем на тождество (66) последовательно операторами S\, Si, Sо и sLi. Воспользовавшись рекуррентным соотношением
Si (A + BS2) = [{п — 2) A ctg 0 — 2QA + Al9 —
— В (X + б ао cos 0) ] + [(л + I) В ctg 0 + В,в + A] S2, (67) находим последовательно
StS^S0SlS2 = 2Q (X2 — 36аV cos2 0) — 12аоХ sin 0 +
+ (4Q [За«т sin 0 — (Q + ctg 0) (Я — Qao cos 0) ] -f-
-f- X (X -f 2) — 4Xao cos 0 — 12а2сг2 cos2 0) S2, (68)
s\sts—iSqS\S2 = Aao {X2 - 36a2(xcos20) cos0 +
-f- (A, -f Qao cos 0) {12acrQ sin 0 — [Я (X -(- 2) — 4Xao cos 0 —
— 12a2o2 cos2 0]) + (4 (X ~ Qao cos 0) (Q — 4aoQ cos 0 -- 2ao cosec 0)+ 6*
164
Глава 9. Гравитационные возмущения черной дыры
4 2Q (X2 — 36о2ст2 cos2 0) — 24aoQ2 sin 0 4-4 2 [X (X + 2) - 4Xao cos 0 - 12аV cos2 0] ctg 0) S2, (69)
S\S\S\S-xS0SxS2 =
= бао (X2 -\- 2Х — SaoX cos 0 12а2о2 cos2 0 — 12aoQ sin 9) sin 0 -f-
+ {— 48aV - 4?, -
— (X — 6aa cos 0) (Ar 2% — Aao cos 0 — 4a2a2cos20) —
— 2 (X -j- 6ao cos 0) (X — 4ao cos 0) -f-
4- 4aaQ (6 + 7X — 18a«r cos 0) sin 0} S2 (70)
и, наконец,
Л Gpj? cp\ QpjC (~p Gp Gp Gp — сії — I =2- о I 2 — J л 0°^ I 2 —
= X2 (X 4 2)2 — 8<Л [a2 (5?, 4 6) — 12a2] 4 144aV = D2. (71)
а. Сводка полезных формул. Будем писать
A 2R+2 = Р+2, Д_2 = Р_2, (72)
если радиальные функции R+2 и R^2 имеют относительную нормировку, требуемую уравнениями (41) и (42).
Ясно, что с помощью установленных тождеств можно выразить (ср. с гл. 8, § 70) производные функций Тьюкольского (как радиальных, так и угловых) через сами эти функции.
Поскольку уравнение (49) справедливо по модулю уравнения, которому удовлетворяет функция Р_2> оно представляет собой редуцированную форму уравнения
А*?>0?)0?>0?>0Р_2 = АVP+2, (73)
в котором все производные высших порядков были исключены с помощью уравнения второго порядка, которому удовлетворяет функция 2- Таким образом, уравнение (49) и комплексно-сопряженное к нему позволяют выразить производные функций Р+2 и P-2в виДе линейных комбинаций функций Р+2 и Р_2- Находим
iBi = А jT ^2) Р+2— [(^1------------------^Г“) “Ь ^2] P-2>
_ iBl ^ = №,) р_2 - [ ( Л, - -- іЛ2] Р+2, (74)
где
V =V1 + HVt, T1 = X (X 4 2) — 12cr2a2, Г2 = 12оМ; (75) A1= + Ari- 4XK2 4 24оК (a2 — Mr),
A2 = — АГ2 — 4?, [К (г — М) 4 r0A 1 4 24огК2 = —1I2B1, г,
(76)
81. Тождества Тьюкольского—Старобинского
165
B1 = -8к [К2 + (г — Mf] + 4А \к (к + 2) +
+ 2 or (г— М.)]— 8«тА2 = — 8/С3 + 8/С (а2 — M2) —
— 8<тЛ (а2 — Л4г) + 4А,/CA. Аналогичным образом из уравнений (58) и (66) находим
PtS2S+2 = DS_2 — (ах + а2) S+2, (77)
где
Pi = SQ3 — 8Q ctg2 0 — 4 (A -f 2) Q + 8асх cosec 0,
Oc1 = А, (А. -(-2) — 12а2а2 -)- 24aoQ cosec 0 — 4A.Q2,
а2 = —24aoQ2 cos 0 -J- 4А, (Q ctg 0 -)- ao cos 0). (78)
