Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнения (17) и (18), очевидно, допускают разделение переменных. Действительно, подстановки
Фо = R+2 (г) S+2 (0), Ф4 = R^ (г) S_2 (0), (19)
где R±2 (г) и 5-4-2 (0)—функции только указанных переменных, приводят к следующим двум парам уравнений:
(AS)1S)!; — Ыаг) R+2 = hR+2, (20)
(St1S2 + 6шт cos 0) S+2 = — LS+2, (21)
(ASDtlS)0 + Ыаг) R_2 - M?_2, (22)
(S_XS\ - 6aa cos 0) S_2 - - XS_2. (23)
Заметим (снова!), что при разделении переменных в уравнениях (17) и (18) мы использовали одну и ту же постоянную разделения. Причины этого мы уже обсуждали.
Уравнения, эквивалентные уравнениям (20)—(23), были впервые выведены Тьюкольским, и мы будем называть их уравнениями Тьюкольского.
Заметим, что уравнение (20) может быть переписано в виде
(АФ_хаЬ\— Ыаг) A2R+2 = XA2R+2. (24)
Следовательно, функции A*R+2 и R_2 (подобно функциям AR+l и R^1 в гл. 8) удовлетворяют комплексно-сопряженным уравнениям. Заметим также, что уравнения (22) и (24) совпадают с уравнениями соответственно (96) и (97) гл. 8 при |s| = 2, т. е. эти уравнения описывают гравитоны со спином 2.
80. Выбор калибровки
157
80. Выбор калибровки и решения
для спиновых коэффициентов X9 G9 X И V
В общем случае линеаризованные уравнения, описывающие возмущения, должны быть совместны с произволом в выборе тетрадной системы отсчета и в выборе координат. Более точно, мы имеем шесть степеней свободы, связанных с локальными бесконечно малыми вращениями локальной тетрады, и четыре степени свободы, связанные с бесконечно малыми координатными преобразованиями; всего десять калибровочных степеней свободы. Мы можем использовать этот произвол так, как нам будет удобно.
Как объяснялось в гл. 4 (§ 29, б), в линейной теории возмущений вейлевские скаляры T0 и ^4 являются калибровочно инвариантными величинами в отличие от скаляров W1 и W3. Следовательно, можно выбрать такую калибровку (т. е. подвергнуть тетрадный изотропный базис бесконечно малому вращению), в которой вейлевские скаляры W1 и W3 становятся равными нулю, не затрагивая при этом скаляры 1F0 и xF4.
Если выбрать калибровку, в которой W1 и W3 равны нулю, то соответствующие решения для коэффициентов k, sf I и п сразу же получаются из уравнений (7), (8), (10) и (11). Возвращаясь к первоначальным переменным (спиновым коэффициентам) и, a, 1K и v, имеем
X = — (/2/6ЛЇ) (р*)2 Я+2 (S72 — Зга sin 0/р*) S+2, (25)
а = +(1/6Мр) (р*)2 S+2A (р% — З/p*) R+i, (26)
I = -f (2/6Mр*) S_2 (2>о - 3/р*) /?_*, (27)
V = (/2/6Мр2) R-2 (SB\ - 3iasin 0/р*) 5_2. (28)
Следует отметить, что мы еще не зафиксировали относительную нормировку функций Ф0 (= R+iS+o) и Ф4 (= /?_2S_2), и поэтому есть соответствующая неоднозначность в решениях для к и а относительно решений ДЛЯ ^ И V-
а. Призрачная калибровка. Помимо калибровки, в которой вейлевские скаляры W1 и W3 становятся равными нулю, можно выбрать и другие калибровки. В частности, можно выбрать калибровку, в которой восстанавливается недостающая явная симметрия уравнений (7)—(9) и (10)—(12). Имеется в виду следующее.
При рассмотрении, например, уравнений (7)—(9) мы видели, что из первой пары мэжно исключить скаляр CP1, а последнее уравнение оказывается «правильным» соотношением между k и s, что позволило получить отдельное уравнение для скаляра Ф0. Точно так же первая пара уравнений позволяет исключить скаляр Ф0, если использовать коммутативность операторов {3?г — Зі sin 0/р*) и A(S)J—З/p*), но теперь у нас нет «правильного» соотношения между k и s для получения отдельного
158
ГЛава 9. Гравитационные возмущения черной дыры
уравнения для скаляра CP1. Используя калибровочный произвол, можно подвергнуть локальную возмущенную тетраду бесконечно малому вращению и исправить ситуацию, добавив (ad hoc?) необходимое соотношение. Действительно, добавив уравнение
А (Si - З/p*) k + (S2 — Sia sin 0/р*) s = [2р/(р')2] Фь (29)
мы можем получить отдельное уравнение для скаляра CP1
[А (S\ - З/p*) (S0 + З./р*) + + (S2- 3ia sin 0/р*) (Si. і + 3ia sin 0/р*)] Фі =
= [12/Ир/(р')2] Ф,. (30)
Упрощая это уравнение, имеем
[AStS0 + 2&U. - 6ia (г + ia cos 0)] Ф, = 0. (31)
Ясно, что последнее уравнение допускает разделение переменных; в результате подстановки
Фі = R+1 (г) S+1 (0) (32)
(введение нижнего индекса +1 для этих функций станет понятно из дальнейшего) придем к следующей паре уравнений:
(AStS0 - Ыаг) R+i = (К0) - 2) R+ и (33)
(S2SU + баа cos 0)S+, = - (Х(1) - 2) S+,. (34)
С помощью легко проверяемых тождеств AStSo = ASlSt + 4шт - 2, S2S3Lx = StSx - 4аа cos 0 + 2 (35)
перепишем уравнения (34) и (33) в виде
(ASXS\ - 2iar) R+X=%WR+X, (36)
(StSx + 2aacos0) S+i = — ^(l)S-|-i. (37)
Ho точно такие же уравнения были выведены в гл. 8 (§ 69) для максвелловского скаляра ф0 (гл. 8, уравнения (24) и,(25)).
Аналогичным образом, дополняя уравнения (10)—(12) соотношением
(S0 - S/p) п - (S\ - 3ia sin 0/р*) I = [2р/(р*)2] Ф3, (38)
можно получить отдельное уравнение для вейлевского скаляра Ф3, которое допускает разделение переменных и позволяет, следовательно, представить скаляр CP3 в виде произведения R^1 (г) S^1 (0), где Rmml (г) и S_! (0) удовлетворяют паре уравнений (26) и (27) из гл. 8 для максвелловского скаляра CP2.
