Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
74. Потенциальные барьеры для падающих электромагнитных волн
В двух предыдущих параграфах, рассматривая преобразование уравнения Тьюкольского к одномерному волновому уравнению, мы обращали внимание на сингулярность соответствующих преобразований, когда зависимость г* от г становится двузначной в интервале частот 0 < сг < Gsy в котором имеет место суперра-
74. Потенциальные барьеры для падающих волн
129
диация и связанные с этим сингулярности полученных потенциалов при г = I ос I (>г+), но не исследовали этот вопрос подробно.
В этом параграфе мы проясним данный вопрос в связи с исследованием электромагнитных возмущений (s = I). К счастью, в этом случае решения различных уравнений достаточно просты, так что имеется возможность выделить и разрешить отдельные аспекты проблемы.
В случае 5 = 1 уравнения (109) и (130)—(133) принимают следующий вид:
Q = (А/со4) (X — сс2Д/со4), (142)
R-fV = dTVdr*, (143)
w-k (тг R) = QT -2iaR + P' (144)
R {R — dTVdr*) + (Д/й4) pT = (A/64) K, (145)
RV- QfV = (Д/й4) dp/dr*, (146)
Покажем, что эти уравнения допускают решения, совместные
с требованиями
T = const, R = <7Д/ш4, (147)
где q — еще одна постоянная. При этих предположениях уравнение (144) дает
P = 2iaq — T (к — а2 Д/й4). (148)
Подставляя в уравнение (145) это решение для P и предполагаемый вид R, находим
q2 (Д/й4) + T [2ioq — T (К — а2 Д/й4) ] = К. (149)
Из этого уравнения следует:
q* = —7?2, q = ±iTa, (150)
К = cIiaqT — T2K = -T2 (К ± 2оа) = const, (151)
что нам и требуется. И наконец, уравнение (146) дает
±«V-Q) = «-?•(?), (152)
или, иначе,
V = Q + W-P--F (ж) = ж [х - “2 W + W (ж)] •
(153)
Таким образом, уравнения (143)—(И6) действительно имеют решения, совместные с требованиями (147), если Q определяется уравнением (142). Заметим также, что решение для V не зависит
5 Чандрасекао С. т. 2
130
Глава 8. Электромагнитные волны в геометрии Керра
от выбора постоянной T и что, кроме того, мы получили два различных решения, соответствующие выбору того или иного знака в уравнении (153) и, наконец, что функция V является комплексной при а > ас ( = —т/а).
Поскольку в решения для Ry P и К величина T входит в качестве простого масштабного множителя, можно без потери общности положить
T = 2 ia. (154)
В этом случае
R = +2(та А/со4; К = 4а2 (К ± 2<кх),
|3 - —2ів (X — а2А/о>4 ± 2аа), (155)
а уравнения, связывающие решения уравнений (HO) и (118) в случае s=l, принимают вид
Y - q=2Ga (А/со4) Z + 2/aA+Z, (156)
A^F = 2ia (А/со4) (X — a2 (А/со4) ± 2аа) Z =F 2Ga (A/й4) A+Z,
(157)
KZ = =F 2GaK — 2/а (g>4/A) A_K, (158)
АГА+Z = —2ia (X — a2 A/a>4 ± 2Ga) Y =F 2aaA_7. (159)
Два решения уравнений (156)—(159), получающиеся при разном выборе знаков, которые мы будем обозначать Z+ (верхний
знак) и Z_ (нижний знак), очень просто связаны между собой
(точно так же, как очень просто связаны решения, описывающие аксиальные и полярные возмущения черных дыр Шварцшильда и Рейсснера—Нордстрема). Действительно, подставляя в соотношение
K+Z+ = ~2aaY — 2ia (a>4/A) A_Y (160)
выражения, связывающие функции Y и AJY с функцией Z_, получаем
K+Z+ = —2Ga [+2aa (А/ю4) Z_ + 2/aA+Z_) —
— 2/a [2/a (A, — a2A/a>4 — 2aa)Z_ -f 2oaA+Z_]. (161)
После упрощения уравнение (161) принимает вид
/(+Z+ = 4 G2 (X — 2a2A/o54 — 2Ga) Z_ — 8/a2aA+Z_. (162)
Таким образом, если известно решение Z_, относящееся к потенциалу Vr., то можно получить решение Z+, соответствующее потенциалу Vr+. В частности, из уравнения (162) следует, что
K+Z+ — /CZ- - 8/aa2A+Z_ (г — оо, г г+ + 0). (163)
а. Связь между решениями Z(+a) г/ Z(_a). В предыдущем параграфе мы ввели верхние индексы, чтобы различать решения
74. Потенциальные барьеры для падающих волн 131
уравнения Тьюкольского (HO) Y(+0) и комплексно-сопряженного ему уравнения К('0) (см. уравнение (Hh)). Этим решениям соответствуют решения одномерных волновых уравнений Z(+a) и Z(-a). Подставляя в уравнения (143)—(146) выражения (154) и (155), но с обратным знаком а, найдем, что функции Z(+c° и Z('a) удовлетворяют одному и тому же уравнению с потенциалом (153):
Л 2Z{±0) = VZ{±G). (164
Поскольку при сг > CTc = —т!а потенциалы V комплексны, в этих случаях функции Z(+a) и Z(-a) в отличие от функций Y{+0) и F('a) не удовлетворяют комплексно-сопряженным уравнениям.
Если выбрать в качестве Z(+a) решение уравнения с потенциалом
=TF [ь - “2 -Ir - 4г Ш} (165)
(т. е. решение, обозначенное Z+ в уравнениях (160)-(163)), то получим следующие соотношения:
Ti±a) = ±2io) Ri±a) = +2аа А/64,
р<±а> = +2/(7(I — а2 А/64 ± 2аа), (166)
= 4(т2 (Л, ± 2оа),
а уравнения, связывающие решения 7(+а) и Z(~0), имеют вид Yi±a) = +20а (А/64) Z<±e) ±2ioA±Z{±a), (167)
Л-Г(±а) = ±2io (А/64) (X - а2 А/64 ± 2оа) Z(±a) +
=F 2оа (А/64) A±Z(±tI\ (168) /С <±a>z(i<T) = +2(таГ(±а) + 2/а(б4/А) ЛТК(±(,>, (169)
K{±a)A±Zi±a) = +2/0 (X - а2 А/64 ± 2аа) F(±a) + 2ааЛ*Г(±а).
(170)
(Заметим, что если выбрать верхние знаки и в уравнениях (156)— (159) и (167)—(170), то они просто совпадут, как и должно быть в силу определений.)
