Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Граница области, в которой координата ср времениподобна, определяется уравнением
S2 = (г2 + a2)2 — a2 A sin2 0 -
= (г2 + а2) (г2 + a2 cos2 0) + 2Ma2r sin2 0-0; (373)
104
Глава 7. Геодезические в пространстве-времени Keppd
это уравнение может удовлетворяться только отрицательными значениями г. Полагая х = —г с целью избежать двусмысленности, можем переписать уравнение (373) в следующем виде:
(JC2 -f а2)2
а2 (х2 + а2 -J- 2Л4я)
Очевидно, что из этого уравнения следует
(JC2 + а2)2
= Sin2 0 (х = —г). (374)
ет
< 1, (375)
a2 (JC2 + а2 -f- 2Mjc)
и это неравенство накладывает ограничение на область изменения х:
0 X -^niax) (376)
где
Jfmax = (2а/V з ) sh L1Z3 Arsh (3 |/3 M/а)} (377)
есть положительный корень уравнения
*3 _|_ а2х — 2Ma2 = 0. (378)
В частности,
0 < л: < M при a2 = M2,
0 < х с 1,2878/И при а2 = ЗМ2. (379)
Подобным же образом получается ограничение на область изменения 0
sin2 0mln < sin2 0 < 1, (380)
. 2 Q • (я2 + a2)2 ,OQ14
Sin Omln — min а2 (д.2 + а2 + 2Af*) ’ ^ )
Минимум в выражении в правой части достигается при х = zM, где z — положительный корень уравнения
(г + I)3 — (3 - a2/M2) (z + I) + 2 (I — O2IM2) = 0. (382)
Приведем некоторые примеры-
Z = VY- I, Sin2Qmln -4(3 -2 у 2), emln = 55,75° (а = Му,
Z = J/ 4 —1, sin20mm = 0,9080, Gmln = 65,25° (а = МуЗ)- (383)
Таким образом, уравнение (374), определяющее границу области, в которой может нарушаться принцип причинности, накладывает довольно жесткие условия на область изменения (—г) и 0.
Хотя при а2<С M2 области, в которых координата ф становится времениподобной, существуют при всех значениях а2 >0, эти области не обмениваются с внешним миром никакими сигна-
Библиографические замечания
105
лами, и мы можем не очень беспокоиться по этому поводу. Ho мы не можем оставаться бесстрастными, когда а2 >М2 и не существует горизонтов событий и поэтому область, в которой координата ф времениподобна, причинно связана с внешним пространством. Интересен в этой связи вопрос, может ли нарушаться принцип причинности (в каком-либо смысле) при движении вдоль времен и подобных (или изотропных) геодезических. Если такое нарушение возможно, то оно может иметь место только при движении вдоль неограниченных геодезических с ц < 0, которые имеют точку поворота в области отрицательных значений г. Поскольку (ср. с уравнениями (179) и (180))
г 0
t = J + a2 j 0->/2 COS2 0 d0 +
T
+ 2M j г [г2 - а (| - а)] A-1 R-1/2 dr, (384)
то, для того чтобы принцип причинности нарушался, отрицательный вклад последнего интеграла от той части орбиты, которая проходит в области отрицательных значений г (и который может быть максимизирован выбором такой орбиты, для которой выражение а (I — а) отрицательно и точка поворота лежит в области, где координата <р времениподобна), должен компенсировать положительный вклад всех трех интегралов от той части геодезической, которая лежит в области положительных значений г. Для получения окончательного ответа нужны дополнительные расчеты.
Библиографические замечания
Проведенное Картером разделение переменных в уравнении Гамильтона— Якоби сделало возможным полное аналитическое исследование геодезических в пространстве-времени Керра:
1. Carter В. Phys. Rev., 174, 1559—1571, 1968.
Cm. также работу
2. Carter В. Commun. Math. Phys., 10, 280—310, 1968.
§ 60. При изложении материала мы нарушили хронологическую последовательность событий и начали с исследования интеграла движения для изотропных геодезических (допускаемого произвольным пространством-временем типа D). Существование этого интеграла было открыто Уокером и Пенроузом:
3. Walker M., Penrose R. Commun. Math. Phys., 18, 265—274, 1970.
Уокер и Пенроуз нашли также интеграл движения, аналогичный открытому Картером для времениподобных геодезических для частного случая метрики Керра.
Изложение в тексте отличается от изложения этого вопроса Уокером и Пенроузом, которые использовали спинорный формализм. Наше изложение более прямое и упрощенное. Однако его преимущество в том, что оно дает простые необходимые и достаточные условия, выраженные через спинорные коэффициенты, существования интегралов движения для времениподобных геодезических типа интеграла Картера в пространстве-времени типа D по классификации Петрова.
106
Глава 7. Геодезические в пространстве-времени Керра
Теорема 1 доказана совместно с Б. Ксантопулосом.
Оказывается, условия, эквивалентные условиям теоремы 3, содержались в работах Хаузера и Мальхиота (хотя автор не смог разобраться в их обозначениях):
4. Hauser /., Malhiot R. J. J. Math. Phys., 16, 150—152, 1975,
5. Hauser /., Malhiot R. J. J. Math. Phys., 16, 1625—1629, 1975,
6. Hauser /., Malhiot R. J. J. Math. Phys., 17, 1306—1312, 1976.
§ 61. Геодезические в экваториальной плоскости черной дыры Керра ши-
роко обсуждались в литературе. Полный список работ см. в обзоре
7. Sharp N. A. General Relativity and Gravitation, 10, 659—670, 1979.
