Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку пространство-время, описывающее черную дыру Керра, стационарно и аксиально-симметрично, естественно ожидать, что общее возмущение можно представить в виде суперпозиции волн различной частоты а и периода 2тп (т = 0, 1, 2 ...) по координате ф. Другими словами, можно было бы ожидать, что исследование возмущений сведется к исследованию суперпозиции различных мод, зависимость которых от времени и координаты ф имеет вид
ехр [i {at + /Пф)}, (1)
где т — целое число, которое может быть положительным, отрицательным или нулем. Вряд ли кто-нибудь ожидал, что зависимость амплитуды этих волн от других двух переменных г и 0 может быть также факторизована. Ho в 1971 г. Тьюкольский показал, что это дальнейшее разделение переменных может быть достигнуто, если уравнения для безмассовых частиц — фотонов, гравитонов и двухкомпонентных нейтрино — записать в формализме Ньюмена — Пенроуза, причем базисные векторы выбрать так, как в § 56. И оказывается, что эта неожиданная возможность разделения переменных основных уравнений математической физики является своего рода заклинанием типа «Сезам, откройся!» для преодоления последующих препятствий.
В настоящей главе мы начинаем изучение электромагнитных возмущений черной дыры Керра, описываемых уравнениями
68. Определения и лёммЫ
№
Максвелла, и исследование распространения электромагнитных волн. Теория достаточно проста, что позволяет сделать изложение полным и замкнутым. Это изложение послужит прообразом для изучения других полей.
68. Определения и леммы
Предположим в согласии с формулировкой задачи об исследовании возмущений в § 67 и аналогично подходу к такой же задаче для метрик Шварцшильда и Рейсснера — Нордстрема, что возмущения можно разложить на моды, зависимость которых от времени и координаты ф определяется уравнением (1). Общий множитель вида (1) во всех величинах, описывающих возмущения, мы будем опускать, при этом все символы будут обозначать соотв етствующие ампл итуды.
Базисные векторы (I, n, т, т), заданные уравнениями (170)— (173) гл. 6, рассматриваемые как касательные векторы, действующие на функции, зависимость которых от t и ф имеет вид (1), становятся дифференциальными операторами:
X = D = SD1i, п = Л = —(Л/2р2) SDt,
m = 8 = (l/j/2 р) 2*0, m = б*' = (l/j/2 р*) S0, ^
где
SDn = дг + ШЛ + 2п (г — М)/Д,
SDl = д,-НС/Д + 2л(г-М)/Д, (3)
Sn = <?е + Q + nctge, Si =дв — Q + п ctg 6,
К = (г2 + a2) a -f am, Q = аа sin 0 -f т cosec 0, (4)
р Z= г Jr ia cos 0, р* = г — ia cos 0, р2 = г2 -f a2 cos2 0. (5)
Заметим, что SDn и 2Ь\ являются чисто радиальными операторами, a Sn и Sxn — чисто угловыми операторами. Ясно, что при действии на «фоновые» величины (не зависящие от t и ф) операторы SD и S сводятся к операторам дг и <?0 соответственно.
Дифференциальные операторы, которые мы сейчас определили, удовлетворяют целому ряду элементарных тождеств, которые нам придется часто использовать в этой и последующих главах. Поэтому мы соберем их вместе и представим в виде серии лемм (ср. с уравнениями (227)—(229) гл. 4).
ЛЕММА 1.
Sn (0) = -Si (л - 0), SDl = (SDn)',
(ь\пЪ)&п+\ = Sns\nQ, (sin 0) 9?l+\ = Si sin 0, (6)
Д SDn,х = SDnA, A 2>+tI = 3%А.
HO
Глава 8. Электромагнитные волны 6 геометрии Керра
ЛЕММА 2.
(S) -'г т/р*) (SS + ima sin 0/р*) = (2? ima sin 0/р*) (3) + т/р*), (7)
где & может быть любым из операторов 2Ьп и SS — любым из операторов SSn и SS\, am — постоянная (обычно положительное или отрицательное целое число).
ЛЕММА 3.
S’n+l&n+z • • • 3?п+т (/ COS 0) = (COS 0) . . . SS n+mf -
— (т sin 0) SSnvl^
Tl +TYlf» (8)
где / — произвольная гладкая функция 0, а операторы SSn можно заменить операторами 9S\.
ЛЕММА 4.
Пусть f (Q) Hg (0) — две произвольные функции 0, заданные на интервале О < 0 < я, тогда
Jt Jt
J g (SBnf) SinedG = — J / (gtn+ig) sin 0 d0. (9)
о о
И наконец, отметим два элементарных тождества, играющие решающую роль во многих преобразованиях, приводящих к упрощению формул:
Q10 -f Q ctg 0 = 2аа cos 0, К — aQ sin 0 = р2а. (10)
69. Уравнения Максвелла: редукция и разделение переменных
Уравнения Максвелла в геометрии Керра можно получить, подставляя в уравнения (330)—(333) гл. 1 спиновые коэффициенты, перечисленные в гл. 6 (уравнения (175)) и производные по направлению из уравнений (2). В результате имеем
_J_ л = + +-!-)*„
¦ Or- + = + (®. + тН
TPt (^ + -i5Fi)* =-^(^ + тН*" (|1)
_J_ + ««-!) ,, _ _ ? (*, _ ь
Эти уравнения принимают более простой и более симметричный вид, если записать их через новые переменные
ф0 — фо> Фі == ^iP* У 2 , Фг = 2ф2 (р*)2- (12)
69. Уравнения Максвелла
111
Получаем
(^l - Фо = (2>0 + -jr) Фі. (13)
(^о + І^Є.)фі= (а>0-----±г) Ф„ (14)
(^_іа|пЄ_)ф2= _д^+ + ^фь (15)
(5’о+іі^)Фі = -А(^-^г)Фо. (16)
а. Редукция уравнений для Ф0 и Ф2 и разделение переменных. Очевидно, что коммутативность операторов (^0+ 1/р*) и (S7J -f -J-ш sin 0/р*) (вследствие леммы 2 § 68) позволяет исключить Фх из уравнений (13) и (16) и получить уравнение только для функции Ф0
