Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Как мы уже отмечали, величину перемещения следует выбирать такой, чтобы в процессе перемещения можно было считать постоянной величину действующей силы. Легко убедиться, что в примере с шарниром это условие не накладывает ограничений на величину перемещения, так как сила натяжения нити не зависит от угла р (рис. 12.4). Напротив, в задаче о стремянке перемещение следует выбирать малым, ибо сила натяжения веревки зависит от а.
Равновесие бывает устойчивым, неустойчивым и безразличным. Равновесие устойчиво, если при малых перемещениях тела из положения равновесия действующие силы стремятся вернуть его обратно, и неустойчиво, если силы уводят его дальше от положения равновесия. Если же при малых смещениях действующие на тело силы и их моменты по-прежнему уравновешиваются, то равновесие безразличное.
100
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКВ
Устойчивому равновесию соответствует минимум потенциальной энергии тела по отношению к ее значениям в соседних положениях тела. Этим свойством часто удобна пользоваться при отыскании положения равновесия и исследовании характера равновесия.
Рассмотрим пример исследования устойчивости равновесия. Пусть имеются два круглых карандаша радиусами R
и г. Один из них расположен горизонтально, другой уравновешен на нем в горизонтальном положении так, что оси карандашей взаимно перпендикулярны (рис. 12.6, а). При каком соотношении между радиусами равновесие устойчиво? На какой максимальный угол можно при этом отклонить от горизонтали верхний карандаш? Коэффициент трения равен (л.
На первый взгляд может показаться, что равновесие верхнего карандаша вообще неустойчиво, так как центр тяжести верхнего карандаша лежит выше оси, вокруг которой он может поворачиваться. Однако здесь положение оси вращения не остается неизменным, поэтому этот случай требует специального исследования.
Поскольку верхний.карандаш уравновешен в горизонтальном положении, центры тяжести карандашей Ох и О, лежат на одной вертикали (рис. 12.6, б).
Отклоним верхний карандаш на некоторый угол ср от горизонтали. При отсутствии трения покоя он немедленно
§ 12. МЕХАНИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ
101
соскользнул бы вниз. Чтобы не думать пока о возможном соскальзывании, будем считать трение достаточно большим. При этом верхний карандаш «прокатывается» по нижнему без проскальзывания. Точка опоры из положения А перемещается в новоё положение С, а та точка, которой верхний карандаш до отклонения опирался о нижний, переходит в положение В. Поскольку проскальзывание отсутствует, длина дуги АС равна длине отрезка ВС: —•AC=Rcp=BC.
Центр тяжести верхнего карандаша 02 переходит в положение 03. Если вертикаль, проведенная через 03, проходит левее новой точки опоры С, то сила тяжести стремится вернуть верхний карандаш в положение равновесия. Выразим это условие математически. Проведя иертикаль через точку В, видим, что должно быть выполнено условие
BE < DC. (12.6)
Так как B?=rsin(p, a DC=BC cosq>=Rq> costp, то из условия (12.6) получаем
решение уравнения tg ф =ТФ-
R tg ф
(12.7)
Поскольку tgф>ф (0<ф<я/2), сила тяжести будет стремиться возвратить верхний карандаш в положение равновесия только при r/R< 1.
Следовательно, устойчивое равновесие верхнего карандаша на нижнем возможно только тогда, когда его радиус меньше радиуса нижнего карандаша.
Для ответа на второй вопрос следует выяснить, какие причины ограничивают величину допустимого угла отклонения. Во-первых, при больших углах отклонения вертикаль, проведенная через центр тяжести верхнего карандаша, может пройти правее точки опоры С. Из условия (12.7) видно, что при заданном отношении радиусов карандашей y=R/r максимальный угол отклонения фх определяется уравнением tgфl=7фl. Решение этого трансцендентного уравнения легко найти графически (рис. 12.7). Во-вторых,
102
ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
максимальное значение угла отклонения ограничивается величиной трения: карандаш не должен соскальзывать, т. е. для предельного угла ф2 получаем tg ф2=^ (вспомните условие равновесия на наклонной плоскости). Решение этого уравнения также показано на рис. 12.7. Очевидно, что максимально допустимый угол отклонения равен меньшему из фх и ф2. Поскольку т>1, а коэффициент трения добычно меньше единицы, то максимально допустимый угол отклонения практически всегда определяется условием соскальзывания, т. е. углом ф2.
ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
§ 13. Гидростатика. Плавание тел
Главное макроскопическое проявление различия между твердыми телами, с одной стороны, и жидкостями и газами, с другой, связано с их поведением при изменении формы. Твердые тела деформируются только под действием сил. Медленное изменение формы жидкости без изменения ее объема может происходить под действием сколь угодно малой силы. В предельном случае бесконечно медленного изменения/ формы жидкости вообще никаких сил не требуется. Жидкости и газы ведут себя как упругие тела только в отношении изменения их объема.
