Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
112
ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
Представим себе манометр в виде изогнутой трубки, передняя часть которой, обращенная навстречу потоку, запаяна, а в боковой стенке имеется параллельное скорости обтекающей жидкости отверстие (рис. 14.4, а). Такая трубка искажает поток только вблизи ее переднего конца, а вблизи отверстия поток практически не меняется. Поэтому давление здесь такое же, как и во всех других точках линии тока, проходящей вблизи отверстия. Соединенный с такой трубкой манометр измеряет давление жидкости р, входящее в уравнение Бернулли. Такое же давление покажет произвольно ориентированный манометр, движущийся вместе с потоком.
Если же взять трубку с открытым передним концом, обращенным навстречу потоку жидкости (рис. 14.4, б), то показание соединенного с ней манометра будет больше р. Поясним это. Линии тока вблизи такой трубки показаны-на рис. 14.4, б. Так как жидкость внутри трубки неподвижна, то линия тока, упирающаяся в открытый конец трубки, обрывается в точке А и скорость жидкости в этой точке обращается в нуль. Обозначим давление в этой точке через ри а давление и скорость в потоке вдали от трубки через р и V.
Применяя к выделенной линии тока уравнение Бернулли, получим
pi = p + -5pv*- (14.7)
Именно это давление и показывает соединенный с трубкой манометр. По измерениям величин р и р1г т. е. располагая '«рубками обоих типов, можно рассчитать скорость потока V.
С помощью уравнения Бернулли легко оценить скорость истечения жидкости v из шприца. Будем считать жидкость идеальной. Пусть на поршень шприца, который имеет площадь S0, действует внешняя сила F (рис. 14.5) и струя жидкости вытекает из иглы с отверстием площади S. Рассмотрим линию тока, проходящую вдоль оси симметрии шприца, и применим к ней уравнение Бернулли. Обозначая скорость поршня и, следовательно, жидкости вблизи него через v0, имеем
(14.8)
s 14. ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ ЦЗ
Из уравнения неразрывности (14.3) вытекает, что S0v0=Sv. Выражая отсюда и0 и подставляя в (14.8), получим
Обычно площадь отверстия иглы во много раз меньше площади поршня шприца: S<^S0. Тогда, пренебрегая квадратом
отношения S/S0 по сравнению с единицей, найдем скорость истечения:
Как вытекает налитая в широкий сосуд жидкость из небольшого отверстия в дне или боковой стенке под действием силы тяжести (рис. 14.6)? Скорость истечения идеальной несжимаемой жидкости легко найти с помощью уравнения Бернулли. Рассмотрим линию тока, начинающуюся вблизи свободной поверхности жидкости и проходящую вдоль оси отверстия. Поскольку скорость жидкости вблизи поверхности в широком сосуде пренебрежимо мала, то уравнение Бернулли имеет вид
(14.9)
/
Г
Рис. 14.5. К оценке скорости Рис. 14.6. Истечение жидкости
истечения жидкости из шприца. из отверстия в стенке сосуда.
откуда
v = V2gh.
(14.10)
Таким образом, скорость истечения идеальной жидкости из отверстия-в сосуде такая же, как и при свободном
114
ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
падении тела с высоты /г. Этот факт был впервые установлен Торричелли.
Более сложным является вопрос о форме струи вытекающей жидкости. Оказывается, что форма струи зависит от устройства отверстия. Сравнительно просто исследовать предельные случаи, показанные на рис. 14.7, а и б. В случае а линии тока в отверстии перед истечением постепенно
Рис. 14.7. Зависимость сечения струи жидкости от устройства отверстия.
меняют направление на параллельное оси трубки. В результате площадь сечения вытекающей струи равна площади сечения отверстия трубки и сжатия струи не происходит. В случае б частицы жидкости вблизи отверстия имеют скорости в поперечных направлениях, что приводит к сжатию струи. Величину сжатия для этого случая можно рассчитать с помощью закона сохранения импульса. Будем рассуждать следующим образом. Всюду вблизи боковых стенок сосуда скдрость движения жидкости пренебрежимо мала и давление равно гидростатическому. Силы давления жидкости на стенки сосуда взаимно уравновешиваются всюду, за исключением участка, лежащего точно нагфотив отверстия и имеющего ту же площадь S, что и отверстие. Импульс этой неуравновешенной силы за-' время At равен рghS At. На основании закона сохранения импульса точно такой же по величине импульс должна унести вытекающая за это время At жидкость. Этот импульс равен произведению массы вытекающей жидкости на скорость ее истечения v. Если площадь сечения струи после
§ 14. ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ 115
сжатия Si, то импульс жидкости равен р Sxv At v. Поэтому
pghS At ;= p5j v2 At.
Подставляя сюда скорость истечения жидкости (14.10), получим Si=S/2: поперечное сечение вытекающей струи оказывается вдвое меньше площади отверстия. При всех других формах отверстий, отличающихся от изображенных
Рис. 14.8. Реакция струи жидкости при течении по изогнутой трубе.
