Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
v0R = vtr2.
Теперь мы имеем систему уравнений для определения и2 и г2, причем из наших рассуждений вытекает, что эта система должна иметь два решения, соответствующих перигею и апогею. Легко убедиться, что после подстановки v2 = v0R'r2 уравнение баланса энергии превращается в квадратное уравнение относительно г2, корни которого равны R и r2=v'lR/ (2gR—и-); сравнивая г2 с ги получаем
VZ
Рис. 11.1. Эл-лнптическая траектория ракеты при vi<vQ<vn.
88
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
Пример 2. Два искусственных спутника Земли движутся по одной и той же круговой орбите на расстоянии L друг от друга, считая вдоль траектории. Период обращения спутников равен Т. Как можно сблизить спутники на орбите, если на одном из них есть двигатель, с помощью которого
можно практически мгновенно сообщить некоторую дополнительную скорость Av, малую по сравнению с орбитальной скоростью и направленную по касательной к траектории? Как скорость Av связана с L и Г?
На рис. 11.2 показана круговая траектория радиуса ги по которой движутся спутники на расстоянии L друг от друга. Если в произвольной точке А спутнику сообщить дополнительную скорость Av в направлении орбитального движения, то он будет двигаться по эллиптической орбите 1 с фокусом в центре Земли. Период обращения по такой орбите больше, чем по круговой. Если же дополнительную скорость Av в точке А направить против движения по орбите, то спутник перейдет на эллиптическую орбиту 2, период обращения по которой меньше Т.
Отсюда становится ясным, какие маневры следует проводить для сближения спутников. Прежде всего отметим, что, поскольку круговая и эллиптическая орбиты имеют только одну общую точку А, встреча спутников может произойти только в этой точке. Поэтому встреча может произойти только через промежуток времени после совершения маневра, кратный периоду обращения спутника по эллиптической орбите. Если двигатель установлен на спутнике, идущем впереди, то его нужно разогнать, переводя на орбиту 1. Если же двигатель находится на спутнике, идущем сзади, то его нужно тормозить, переводя на орбиту 2. Обратите внимание на кажущийся парадокс: для того чтобы догнать, нужно притормозить.
Для определенности рассмотрим первый случай; в момент совершения маневра пассивный спутник находится в точке В,
А
Рис. 11.2. Преобразование круговой траектории в эллиптические при сообщении спутнику в точке А дополнительной скорости в направлении орбитального движения (1) и против движения (2).
§ II. ПРОСТЫЕ ПРИМЕРЫ ИЗ КОСМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ 89
отстоящей на L от точки Л. Найдем величину дополнительной скорости Av, которую нужно сообщить активному спутнику, чтобы встреча произошла через один оборот. Обозначим через v скорость движения по круговой орбите. Тогда период обращения Тх по эллиптической орбите должен быть больше периода обращения Т по круговой на время прохождения дуги L по круговой орбите:
Найдем связь между периодом обращения Т, по эллиптической орбите и той добавочной скоростью Av, которая переводит спутник на эту орбиту. В этом нам помогут законы Кеплера. На основании третьего закона Кеплера
где а=(г,-\-г2)/2 — большая полуось эллипса (рис. 11.2).
Для того чтобы связать расстояние г, от центра Земли до апогея эллиптической орбиты с Av, воспользуемся вторым законом Кеплера и законом сохранения энергии: обозначив через Vi=v-\-Avскорость спутника в перигее, а через Vi — в апогее эллиптической орбиты, имеем
Здесь m — масса спутника, R — радиус Земли. Выражая v2 из (11.3) и подставляя в (11.4), получаем
Замечая, что gR2/rx есть квадрат скорости спутника на круговой орбите радиуса тх, из уравнения (11.5) получаем
Отсюда большая полуось эллипса
(11.1)
(11.2)
mv\ m
2
mgR2
г.
(11.3)
(11.4)
90
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
Поскольку по условию добавочная скорость Av много меньше скорости орбитального движения v, то
4=(1+^У*1+2^.
V2 \ 1 V 1 V
Теперь для большой полуоси имеем а«л1(14-2Ди/и). Подставим полученное выражение для а в уравнение третьего закона Кеплера (11.2). Возводя отношение а!гг в куб и учитывая, что Av!v<^.\, находим Т1&Т2 (1+бДи/г;), откуда ~ ~ ЗТ Ли
Сравнивая это выражение с (11.1), видим, что
Ду = ^г. (11.6)
Итак, если мы хотим, чтобы встреча спутников произошла через один оборот, то идущему впереди спутнику нужно сообщить добавочную скорость Av, определяемую соотношением (11.6).
Чтобы встреча произошла через п оборотов, нужно сообщить в п раз меньшую добавочную скорость Av=L/(3nT). Таким образом, мы можем израсходовать тем меньше топлива для совершения маневра, чем больше времени согласны ждать встречи.
После завершения маневра сближения, для того чтобы перевести спутник снова на круговую орбиту, придется погасить сообщенную ему добавочную скорость, т. е. еще раз включить двигатель.
