Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
§ 9. СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ
77
масс vl0 имеет ту же величину, что и o10, и, следовательно, изображается некоторым вектором ОС, конец которого лежит в какой-то точке окружности радиуса и10 с центром в точке О. Поэтому скорость снаряда после удара в лабораторной системе отсчета v\, равная сумме v'10 и скорости
центра масс V, изображается вектором ВС. Угол ср характеризует изменение направления скорости снаряда в лабораторной системе в результате столкновения. _„
Величина вектора ВА
а вектора ВО V,, поэтому ве-
личина вектора ОА рав-т2
па и10 = IV
равна иь т1
v
-V =
• V,
Рис. 9.3. Максимальный угол отклонения частицы-снаряда при столкновении фтах» когда снаряд тяжелее мишени.
m,+m2
Рис. 9.2 соответствует случаю miOn2, т. е. когда
снаряд легче мишени. Так как точка В лежит при этом внутри окружности, то угол отклонения снаряда <р может принимать любое значение. Если снаряд тяжелее мишени (/ni>m2), то точка В находится вне окружности (рис. 9.3). Видно, что в этом случае угол отклонения снаряда ф не может превышать некоторого максимального значения Фтах, синус которого равен отношению v10/v:
sin ф„
.«10.
v
m2
mi
Например, при упругом рассеянии дейтронов на неподвижных протонах, когда отношение масс mJm.i=l/2, угол рассеяния не может превышать 30°.
В заключение отметим, что полученные выше закономерности остаются в силе и в тех случаях, когда рассматриваемая система сталкивающихся частиц, строго говоря, не является замкнутой. Необходимо лишь, чтобы внешние силы были малы по сравнению с внутренними силами, действующими по время столкновения. Тогда импульсом внешних сил за время столкновения можно пренебречь.
78
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
Например, магнитное поле в камере Вильсона существенно искривляет траекторию заряженных частиц до и после столкновения, однако во время столкновения действием магнитного поля можно пренебречь.
§ 10. Законы сохранения и космические скорости
Аналитическое решение динамической задачи о движении тела в центральном гравитационном поле, например о движении планет вокруг Солнца или искусственных спутников Земли, сопряжено со значительными математическими трудностями. Между тем ответы на многие вопросы, касающиеся этого движения, можно сравнительно просто получить с помощью законов сохранения.
Прежде всего определим вторую космическую скорость уп, т. е. минимальную скорость, которую нужно сообщить находящемуся на поверхности Земли телу для того, чтобы оно удалилось на бесконечность (ее часто называют также скоростью освобождения). Проще всего это сделать, используя закон сохранения энергии. Будем считать, что двигатели ракеты срабатывают непосредственно у поверхности Земли, сообщают ракете необходимую скорость и выключаются. Кинетическая энергия тела при запуске равна mvп/2, а потенциальная энергия вблизи поверхности Земли, в соответствии с формулой (8.6), равна —mgR. Полная механическая энергия
E^^-mgR
в свободном полете остается неизменной. В конечном состоянии, когда ракета удалилась от Земли на бесконечность, ее потенциальная энергия равна нулю. Очевидно, что необходимая начальная скорость будет наименьшей, если в конечном состоянии скорость ракеты обратится в нуль. Следовательно, в конечном состоянии полная механическая энергия равна нулю, и вследствие закона сохранения энергии
-ф- — mgR —0, откуда немедленно получаем
уп = У2gR = 11,2 км/с.
(10.1)
§ 10. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И КОСМИЧЕСКИЕ СКОРОСТИ 79
Ракета удалится на бесконечность независимо от того, в каком направлении сообщена ей вторая космическая скорость, хотя траектории движения при этом будут, разумеется, разные.
Обратим внимание на то, что приведенные выше рассуждения проведены в системе отсчета, связанной с Землей. Это совершенно естественно, так как по самой постановке задачи очевидно, что Земля считается неподвижной. Точнее, система отсчета, связанная с Землей, считается инерциальной, а притяжением Солнца и тем более других планет пренебрегается. Однако попробуем в том же самом приближении (т. е. пренебрегая притяжением к Солнцу) рассмотреть этот вопрос с точки зрения системы отсчета, связанной с Солнцем. Это совершенно законно, так как гелиоцентрическая система отсчета является инерциальной с большей степенью точности, чем геоцентрическая. Поскольку притяжение к Солнцу здесь не учитывается, Солнце является лишь телом, с которым связана система отсчета, а не физическим телом, влияющим на движение.
Обозначим скорость движения Земли через v и предположим для простоты, что начальная скорость тела относительно Земли г»,, совпадает с ней по направлению. Применим закон сохранения энергии, учитывая, что, удалившись от Земли на бесконечность, тело останавливается относительно Земли, т. е. в рассматриваемой системе отсчета имеет ту же скорость, что и Земля:
