Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
(и + и,,,)2 — 2vU — 2d2 = 2v [и,,, — (J/2 — 1) и) .
Решая это уравнение, находим для и1П прежнее значение, даваемое формулой (10.11).
Обратим внимание на следующее обстоятельство. Несмотря на то, что закон сохранения энергии (10.13) был записан для всего процесса в целом, при нахождении изменения скорости Земли нам пришлось воспользоваться зако-
§ II. ПРОСТЫЕ ПРИМЕРЫ ИЗ КОСМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ 85
ном сохранения импульса в приближенном виде только для определенного этапа процесса, а именно для выхода тела только из зоны действия тяготения Земли. При этом мы считали, что иа втором этапе, т. е. при удалении тела из зоны действия солнечного притяжения, скорость Земли уже не менялась по величине. Таким образом, фактически нам все равно пришлось проводить поэтапное приближенное рассмотрение. Попытка применить закон сохранения импульса ко всему процессу не привела бы к желаемому результату. Дело в том, что здесь мы сталкиваемся с так называемой «задачей трех тел», движущихся под действием сил взаимного притяжения. Точное решение этой задачи в общем случае встречает колоссальные математические трудности и может быть доведено до конца лишь в некоторых частных случаях.
При решении практических задач космической динамики обычно используется приближенный подход, основанный на разбиении пространства иа так называемые сферы действия отдельных небесных тел. Так, например, в разобранном примере сначала рассматривалось движение тела только под действием притяжения к Земле. При этом, строго говоря, преиебрегается ие влиянием Солица иа движение тела, а разностью во влияниях Солнца иа движения Земли и тела, т. е. фактически преиебрегается неоднородностью поля тяготения Солица в сфере действия Земли. После выхода тела из сферы действия Земли рассматривалось его движение только в поле тяготения Солица. Размер сферы действия Земли определяется тем расстоянием, иа котором разность ускорений, сообщаемых Солнцем Земле и запущенному телу, становится сравнимой с ускорением, сообщаемым телу Землей. В отличие от сферы действия, «сфера притяжения Земли относительно Солица», определяемая как область, па границе которой равны по величине гравитационные ускорения тела от Земли и от Солнца, ие играет никакой роли в космической динамике.
§ 11. Простые примеры из космической динамики
Особенности движения тел в ньютоновском поле тяготения лучше всего изучать, рассматривая конкретные примеры. В этом параграфе будет рассмотрено несколько примеров из космической динамики движения спутников в
86
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
гравитационном поле Земли на основе законов Кеплера и законов сохранения.
Пример 1. С полюса Земли запускают две ракеты, одну вертикально вверх, другую горизонтально. Начальные скорости обеих ракет равны у0, причем величина и0 больше первой космической скорости и меньше второй. Выясним, какая из ракет удалится дальше от центра Земли и во сколько раз. Сопротивлением воздуха будем пренебрегать.
Рассмотрим вначале более простой случай, когда ракета запускается вертикально вверх. Поскольку единственная сила, действующая на ракету в свободном полете, есть сила притяжения к Земле, направленная вертикально вниз, то ракета полетит по прямой, проходящей через центр Земли. Так как начальная скорость ракеты меньше второй космической скорости, то ракета на некотором расстоянии гг от центра Земли остановится и начнет падать назад. Точку максимального удаления проще всего найти из энергетических соображений. Действительно, так как полная механическая энергия системы ракета — Земля сохраняется, энергия в начале полета (mv2J2—mgR) равна энергии в точке остановки (—mgR^lr^. Отсюда сразу находим расстояние максимального удаления от центра Земли:
г =_М1_
1 2gR-ot '
Прежде чем вычислять величину максимального удаления ракеты при горизонтальном запуске, выясним вопрос о форме траектории. Поскольку начальная скорость ракеты превышает первую космическую, но меньше второй, ракета движется по эллипсу, у которого фокус находится в центре Земли, а начальная точка полета является перигеем. Большая ось эллипса проходит через эту точку и центр Земли (рис. 11.1). Интересующая нас точка наибольшего удаления от центра Земли — апогей — лежит на противоположном конце большой оси, и скорость ракеты v2 в этой точке, разумеется, отлична от нуля и направлена перпендикулярно большой оси эллипса.
Для нахождения величины гг опять можно воспользоваться законом сохранения энергии:
mi'l п mvl mgR2
§ 11. ПРОСТЫЕ ПРИМЕРЫ ИЗ КОСМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ 87
Уже отсюда легко увидеть, что максимальное удаление ракеты га в этом случае будет меньше, чем rL. Уравнение содержит две неизвестные величины о2 и г2 и поэтому имеет бесчисленное множество решений. Что бы это могло означать? Перечитав еще раз наши рассуждения, легко заметить, что в уравнение закона сохранения энергии не вошли никакие признаки, которые характеризовали бы точку г2 как точку наибольшего удаления. Точно такое же уравнение мы получили бы и для любой другой точки траектории. Заметим, что в первом случае (при вертикальном запуске ракеты) точка максимального удаления была уже выделена в уравнении закона сохранения энергии, так как только в этой точке кинетическая энергия ракеты обращается в нуль. Какое же условие следует добавить к уравнению баланса энергии во втором случае, чтобы учесть особенности точки наибольшего удаления, отличающие ее от всех других точек траектории? Мы уже заметили, что в этой точке скорость перпендикулярна к направлению на центр Земли. Точно таким же свойством обладает и начальная точка траектории: по условию начальная скорость ракеты v0 перпендикулярна направлению на центр Земли. Во всех остальных точках траектории это не так. Этот факт позволяет в простом виде применить второй закон Кеплера о постоянстве секторной скорости при движении в центральном поле:
