Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Fi = -4r- (8Л°)
Проекция силы на произвольное направление может быть найдена делением изменения потенциальной энергии при малом перемещении вдоль этого направления па величину перемещения.
§ 8. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ В МЕХАНИКЕ 69
Потенциальная энергия частицы в силовом поле является функцией ее координат. Приравнивая Еп(х, у, г) постоянной величине, получаем уравнение поверхности, во всех точках которой потенциальная энергия имеет одно и то же значение. Эти поверхности постоянной потенциальной энергии дают наглядную картину силового поля и широко используются в электростатике. Сила в каждой точке направлена перпендикулярно к проходящей через эту точку эквипотенциальной поверхности. Это легко увидеть с помощью формулы (8.10). В самом деле, выберем перемещение М вдоль поверхности постоянной энергии. Тогда AE„=0 и, следовательно, равна нулю проекция силы на поверхность ?n=const. Так, например, в гравитационном поле, создаваемом телом массы тх со сферически симметричным распределением масс, потенциальная энергия тела массы тг дается выражением (8.5). Поверхности постоянной энергии такого поля представляют собой сферы, центры которых совпадают с силовым центром. Действующая на массу т.г сила перпендикулярна эквипотенциальной поверхности и направлена к силовому центру. Проекцию этой силы иа радиус, проведенный из силового центра, можно найти из выражения для потенциальной энергии (8.5) с помощью формулы (8.10):
Р _____А?п __ утхтг / 1______1 \ _ утхт2
Т Д г Д г \г^-Аг г) л(л + Дл)’-
что при Ал->0 дает
р mim2
rr = ~V~—•
Полученный результат подтверждает приведенное выше без доказательства выражение для потенциальной энергии
(8.5).
Перейдем теперь к обсуждению закона сохранения механической энергии. Рассмотрим систему материальных точек, иа которые действуют внешние силы и внутренние консервативные силы взаимодействия. Изменение кииети-w ¦ .-.ой энергии всей системы при переходе ее из состояния 1 к состояние 2 равно сумме работ внешних и внутренних сил, действующих иа все тела:
Е^к1 ^ ^внеш “Ь ЛВПутр- (^-П)
Работа внутренних консервативных сил равна разности
70
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
значений потенциальной энергии системы в начальном и конечном состояниях:
Подставляя это выражение в (8.Д1) и перегруппировывая слагаемые, получим
Из этого равенства видно, что работа действующих на систему внешних сил определяет изменение функции состояния системы, равной сумме ее кинетической и потенциальной энергий. Эта сумма и есть полная механическая энергия системы.
Если наряду с консервативными в системе действуют и неконсервативные внутренние силы, например силы трения, то изменение механической энергии системы будет равно сумме работ внешних сил и внутренних неконсервативных сил.
Иногда некоторые из действующих на систему внешних сил также являются консервативными, например, когда система находится во внешнем гравитационном (или электростатическом) поле. В этом случае можно ввести понятие потенциальной энергии системы во внешнем поле и включить ее в механическую энергию системы. Теперь изменение механической энергии будет равно сумме работ только неконсервативных внешних и внутренних сил.
В отсутствие неконсервативных сил механическая энергия системы остается неизменной. Возможны лишь взаимные превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно, но полный запас механической энергии системы измениться не может.
Законы сохранения энергии и импульса выполняются в любых инерциальных системах отсчета. Хотя и механическая энергия, и импульс рассматриваемой системы материальных точек имеют разные значения в разных инерциальных системах отсчета, но при движении эти значения остаются неизменными в замкнутых механических системах, а при наличии внешних воздействий в каждой системе отсчета меняются в соответствии с уравнениями (7.4) и (8.12). При этом механическая энергия, в отличие от импульса, может изменяться из-за наличия внутренних неконсервативных сил.
А
пнутр
(?кг + ^пг) — (?ki +?т) — А
внеш*
(8.12)
§ 9. СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ
71
Законы сохранения энергии и импульса тесно связаны с определенными свойствами симметрии пространства и времени. Хотя выше они были получены как следствие законов динамики Ньютона, в действительности они представляют собой более общие принципы, область их применимости шире и не ограничивается ньютоновской динамикой.
Сохранение импульса в замкнутой системе связано с однородностью пространства. Однородность пространства означает, что все явления в замкнутой системе не изменятся, если осуществить параллельный перенос системы из одного места в другое таким образом, чтобы все тела в ней оказались в тех же условиях, в каких они находились в прежнем положении. При таком переносе потенциальная энергия взаимодействия тел, которая, как это следует из однородности пространства, зависит только от их взаимного расположения, остается неизменной. Значит, при переносе всех тел на один и тот же вектор R равна нулю работа всех внутренних сил Ft:
