Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
(12.4).
Сила натяжения веревки и силы взаимодействия в шарнире для рассматриваемой системы являются внутренними и поэтому не могут быть определены из условий равновесия всей системы в целом. Для определения этих сил не-
в)
Рис. 12.3. Шарнирно соединен-ные вверху половинки лестницы-стремянки связаны горизонтальной веревкой у основания.
§ 12. МЕХАНИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ
97
обходимо рассматривать условия равновесия отдельных частей системы. При этом удачным выбором точки, относительно которой составляется уравнение моментов сил, можно добиться упрощения алгебраической системы уравнений. Так, например, в данной системе можно рассмотреть условие равновесия моментов сил, действующих на левую половинку лестницы, относительно точки С, в которой находится шарнир. При таком выборе точки силы, действующие в шарнире, не войдут в это условие, и мы сразу находим силу натяжения веревки Т\
NJ cosa = 77 sin а, (12.5)
откуда, учитывая, что Ni=G/4, получаем
7’ = |-ctgo.
Условие (12.5) означает, что равнодействующая сил Т и Ni проходит через точку С, т. е. направлена вдоль лестницы. Поэтому равновесие этой половинки лестницы возможно, только если сила Qi, действующая на нее в шарнире, также направлена вдоль лестницы (рис. 12.3, в), а ее величина равна величине равнодействующей сил Т и Ny.
Qx=T^-
4 sin а
Сила Q2. действующая в шарнире на другую половинку лестницы, на основании третьего закона Ньютона равна Qi по величине и направлена противоположно. Направление силы Qi можно было бы определить непосредственно из рис. 12.3, в, учитывая, что при равновесии тела под действием трех сил линии, по которым действуют эти силы, пересекаются в одной точке. Действительно, рассмотрим точку пересечения линий действия двух из этих трех сил и составим уравнение моментов относительно этой точки. Моменты первых двух сил относительно этой точки равны нулю; значит, должен равйяться нулю и момент третьей силы, что возможно, только если линия ее действия также проходит через эту точку.
Иногда задачу статики можно решить, вообще не рассматривая условий равновесия, а используя закон сохранения энергии применительно к механизмам без трения: ни один механизм не дает выигрыша в работе. Этот закон
98
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
часто называют золотым правилом механики. Для иллюстрации такого подхода рассмотрим следующий пример: тяжелый груз весом G подвешен на невесомом шарнире с тремя звеньями (рис. 12.4). Какое натяжение должна выдержать нить, соединяющая точки Л и В?
Попробуем с помощью этого механизма поднимать груз G. Отвязав нить в точке А, потянем ее вверх так, чтобы точка В медленно поднялась на расстояние Ah. Величина перемещения Ah ограничена тем, что сила натяжения нити Т должна оставаться неизменной в процессе перемещения. Совершенная при этом работа АА=Т Ah. В результате груз G поднимается на высоту Ahu которая, как ясно из геометрических соображений, равна ЗАh. Так как при отсутствии трения никаких потерь энергии не происходит, можно утверждать, что изменение потенциальной энергии груза, равное G Ahit определяется совершенной при подъеме работой. Поэтому
Т = 3G.
Рис. 12.4. В
шарнире из трех Очевидно, что для шарнира, содержащего звещ^точкИиЛ произвольное число п одинаковых звеньев,
нитью. T = nG.
Нетрудно найти натяжение нити и в том случае, когда требуется учитывать вес самого шарнира G^. совершаемую при подъеме работу следует приравнять сумме изменений потенциальных энергий груза и шарнира. Для шарнира из одинаковых звеньев центр тяжести его поднимается на п Ah/2. Поэтому
Г-я(0+^).
Сформулированный принцип {«золотое правило механики») применим и тогда, когда в процессе перемещений не происходит изменения потенциальной энергии, а механизм используется для преобразования силы. Редукторы, трансмиссии, вороты, системы рычагов и блоков — во всех таких системах величину преобразованной силы можно определить, приравнивая работы преобразованной и при»
« 12. МЕХАНИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ
99
сближении половинок стремянки.
ложенной сил. Другими словами, при отсутствии трений отношение этих сил определяется только геометрией устройства. Рассмотрим с этой точки зрения разобранный выше пример со стремянкой. Конечно, использовать стремянку в качестве подъемного механизма, т. е. поднимать человека, сближая половинки стремянки, вряд ли целесо- I
образно. Однако это не может помешать нам применить описанный метод для нахождения силы натяжения веревки. Приравнивая работу, совершаемую при сближении частей стремянки, изменению потенциальной энергии человека на стремянке и связывая из геометрических соображений перемещение Ах нижнего конца лестницы с изменением высоты груза Ah (рис. 12.5), получаем, как и следовало ожидать, приведенный ранее результат:
T=-?ctga.
