Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
m1v1 = m1v'i + m2v2, (9.5)
I 2 1
Начнем с некоторых простых частных случаев. Прежде всего рассмотрим «лобовое» столкновение частиц, например шаров, при котором скорость Vi направлена по линии, соединяющей их центры. Тогда и скорости шаров после удара будут направлены по этой же линии. Проектируя равенство
(9.5) на это направление, получим скалярное уравнение, которое вместе с (9.6) образует систему уравнений для нахождения проекций v[ и v2 скоростей шаров после удара. Решая ее, находим
т, — т3 , 2пц /п
^ = (9-7)
т1 +т2 т1 + т2
Если массы шаров одинаковы (т1=т2), то первый шар при ударе останавливается, а второй шар после удара движется с такой же скоростью, как и первый шар до удара. Если снаряд легче мишени (m1<Zm2), то согласно (9.7) и[<0, т. е. снаряд отскакивает назад, причем при т^т2 скорость снаряда просто меняет свое направление на противоположное. Если снаряд тяжелее мишени, то тюсле удара снаряд продолжает двигаться в том же направлении с меньшей скоростью.
Рассматривая изменение кинетической энергии шаров в результате удара, можно убедиться, что в случае равных масс происходит полный обмен энергией, в то время как при большой разнице в массах снаряд при столкновении может передать мишени лишь малую часть своей энергии. В самом деле, пусть, например, снаряд много легче мишени: т^пц. Тогда, пренебрегая в знаменателе формулы для v2 (9.7)
величиной тд по сравнению с т2, получим и',да 2 ~ vlt откуда
§ 9. СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ
75
для кинетической энергии мишени после удара имеем
Аналогичный результат получится и в случае, если снаряд значительно тяжелее мишени (mi^>m2).
В действительности лобовой удар — это большая редкость. Его относительно легко осуществить разве что при игре в бильярд, а при столкновениях молекул, атомов и элементарных частиц подавляющее число ударов являются нецентральными.
Если частица налетает на неподвижную частицу такой же массы, то при нецентральном упругом ударе частицы разлетаются под прямым углом друг к другу. Действительно, законы сохранения импульса и энергии (9.5) и (9.6) при mi=m2 принимают вид
Первое из этих равенств означает, что векторы скоростей ©1, и v’i образуют треугольник, а второе — что для этого треугольника справедлива теорема Пифагора, т. е. он прямоугольный: угол между катетами v[ и v2 равен я/2. Однако законов сохранения энергии и импульса недостаточно для определения направления векторов v\ и v2 относительно направления движения налетающей частицы. Для того чтобы определить эти направления, нужно знать закон взаимодействия между частицами и их положение в момент столкновения.
В общем случае частиц с разными массами применение законов сохранения к изучению процесса столкновения удобно интерпретировать геометрически. Для этого перейдем из лабораторной инерциальной системы отсчета, в которой частица-мишень до столкновения покоится, в другую инерциальную систему отсчета, в которой центр масс сталкивающихся частиц покоится как до столкновения, так и после. Эта система отсчета движется относительно лабораторной с такой же скоростью, как и центр масс:
.2
2
9 ,2 ,2 V\=Vy + V2 .
m,vi + m2v2 =_________________
mi | m2 mi l 11
76
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
так как мишень до столкновения в лабораторной системе отсчета покоится (v2=0).
В системе центра масс движутся обе частицы — как снаряд, так и мишень. Их импульсы равны по величине и противоположны по направлению, так что полный импульс сталкивающихся частиц в этой системе отсчета равен нулю.
В силу закона сохранения импульса импульсы обеих частиц остаются равными по величине и противоположными по направлению и после столкновения, а в силу закона сохранения энергии остаются неизменными и их величины.
Рис. 9.1. Векторы скоростей частиц до и после столкновения в системе центра масс.
тора скорости часгицы-снаряда после столкновения да' в лабораторной системе отсчета.
Тем самым в системе центра масс столкновение сводится к повороту скоростей обеих частиц, остающихся противоположно направленными и неизменными по величине. Это изображено на рис. 9.1, где векторы скоростей с индексом «О» относятся к системе центра масс. Угол 0 в зависимости от взаимного расположения частиц при столкновении может принимать любые значения. Его значение не может быть найдено только из законов сохранения.
Скорость частиц в лабораторной системе отсчета можно получить из рис. 9.1 следующим графическим построением.
Отложим вектор О А, равный скорости снаряда в системе центра масс до удара ©10 (рис. 9.2). Скорость снаряда в лабораторной системе Vi равна суммет»10и скорости центра
масс V, т. е. изображается вектором ВА на рис. 9.2. После столкновения скорость снаряда в системе центра
