Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
94
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
статически неопределимых. Для их расчета необходимо учитывать упругие свойства тел.
Приведенный пример показывает, что применимость модели абсолютно твердого тела в статике определяется не
ЛГг
",
Д
д
f’ /' №
¦
!
Л д д
в
а) 6)
Рис. 12.1. Силы реакции для балки на двух опорах (а) и на трех опорах (б). В случае 6 модель абсолютно твердого тела к балке неприменима.
столько свойствами самого тела, сколько условиями, в которых оно находится.
Условия равновесия абсолютно твердого тела представляют собой частный случай динамических уравнений, когда ускорение отсутствует, хотя исторически статика возникла из потребностей строительной техники почти на два тысячелетия раньше динамики. В инерциальной системе отсчета твердое тело находится в равновесии, если векторная сумма всех действующих на тело внешних сил и векторная сумма моментов этих сил равны нулю. При выполнении первого условия равно нулю ускорение центра масс тела. При выполнении второго условия отсутствует угловое ускорение вращения. Поэтому, если в начальный момент тело покоилось, то оно будет оставаться в покое и дальше.
В дальнейшем мы ограничимся изучением сравнительно простых систем, в которых все действующие силы лежат в одной плоскости. В этом случае векторное условие
2^=0 (12.1)
сводится к двум скалярным:
2/\-,=о, 2^=0,
(12.2)
§ 12. МЕХАНИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ
95
если расположить оси х и у в плоскости действия сил. Некоторые из входящих в условия равновесия (12.1) действующих на тело внешних сил могут быть заданы, т. е. их величина и направление известны. Что же касается сил реакции связей или опор, ограничивающих возможное перемещение тела, то они, как правило, наперед не заданы и сами подлежат определению.
В отсутствие трения силы реакции перпендикулярны поверхности соприкосновения тел.
Иногда возникает сомнение в определении направления силы реакции связи, как, например, на рис. 12.2, где изображен стержень, опирающийся концом А о гладкую вогнутую поверхность чашки и в точке В на острый край чашки. Для определения направления сил реакции в этом случае можно мысленно немного подвинуть стержень, не нарушая его контакта с чашкой. Сила реакции будет направлена перпендикулярно поверхности, по которой скользит точка контакта. Так, в точке А действующая на стержень сила реакции перпендикулярна поверхности чашки, а в точке В— перпендикулярна стержню.
Для плоской системы сил векторы моментов всех сил направлены перпендикулярно плоскости, в которой лежат силы, если моменты рассматриваются относительно точки, лежащей в этой же плоскости. Поэтому векторное условие для моментов сводится к одному скалярному: в положении равновесия алгебраическая сумма моментов всех внешних действующих сил равна нулю. Величина момента силы F относительно точки О равна произведению величины силы F на расстояние от точки О до линии, вдоль которой действует сила F. При этом моменты, стремящиеся повернуть тело по часовой стрелке, берутся с одним знаком, против часовой стрелки — с противоположным. Выбор точки, относительно которой рассматриваются моменты сил, производится исключительно из соображений удобства: уравнение Моментов будет тем проще, чем больше сил будут иметь равные нулю моменты.
Рис. 12.2. Направление сил реакции, действующих на стержень.
96
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
Для иллюстрации применения условий равновесия абсолютно твердого тела рассмотрим следующий пример. Легкая лестница-стремянка состоит из двух одинаковых частей, шарнирно соединенных вверху и связанных веревкой у основания (рис. 12.3, а). Определим, каково натяжение веревки, с какими силами взаимодействуют половинки лестницы в шарнире и с какими силами они давят на пол, если на середине одной из них стоит человек весом G. Рассматриваемая система состоит из двух твердых тел — половинок лестницы, и условия равновесия можно применять как для системы в целом, так и для ее частей.
Применяя условия равновесия ко всей системе в целом, можно найти силы реакции пола Ni и N2 (рис. 12.3, б). При отсутствии трения эти силы направлены вертикально вверх и условие равенства нулю векторной суммы внешних сил (12.1) принимает вид
А\ + М2 = G. (12.3)
Условие равновесия моментов внешних сил относительно точки А записывается следующим образом:
Nx2l cos а = G cosa, (12.4)
где I — длина половинки лестницы, а a — угол, образованный лестницей с полом. Решая систему уравнений (12.3) и (12.4), находим Ni_=G/4, N2=3G/4.
Разумеется, вместо уравнения моментов
(12.4) относительно точки А можно было бы написать уравнение моментов относительно точки В (или любой другой точки). При этом получилась бы система уравнений, эквивалентная использованной системе (12.3) и
