Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 14.1. Скорости частиц движущейся жидкости и линии тока.
эту точку. Если проделать это для всех точек пространства и указать скорости частиц жидкости во всех точках в определенный момент времени, то получится мгновенная картина распределения скоростей в движущейся жидкости — так называемое поле скоростей. Линии, касательные к которым во всех точках совпадают с направлениями скоростей жидкости в этих точках, называются линиями тока (рис. 14.1).
При стационарном течении жидкости поле скоростей, а следовательно, и линии тока не меняются со временем. В этом случае линии тока совпадают с траекториями от-
§14. ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ J 09
дельных частиц жидкости, так как каждая частица жидкости приходит в данную точку с той же самой скоростью.
Часть жидкости, .ограниченная линиями тока, называется трубкой тока (рис. 14.2). Такая мысленно выделенная в потоке часть жидкости — трубка тока,— подобно жидкости в настоящей трубе, движется, нигде не пересекая боковой поверхности трубки. При стационарном течении количество жидкости, пересекающей в единицу времени сечение 5ц т. е. «втекающей» в вы- ^ис' Трубка тока,
деленную часть трубки,
равно количеству жидкости, «вытекающей» через сечение 52. Если выбрать трубку тока с поперечным сечением Д5 настолько малым, чтобы скорость жидкости во всех точках сечения была одинаковой, причем это сечение ориентировано перпендикулярно линиям тока, то количество жидкости Ат, протекающей через это сечение за время t, будет равно
Am = pvASt. (14.1)
В стационарном потоке величина Ат одна и та же для любого поперечного сечения выбранной трубки тока, поэтому согласно (14.1)
PiVt Д51 = раиа Д52. (14.2)
Если жидкость можно рассматривать как несжимаемую, то pi=p2 и условие (14.2) принимает вид
ViAS^VtAS,. (14.3)'
Это соотношение называется уравнением неразрывности. Полученный результат ’(14.3) справедлив для выбранной трубки тока. При изучении движения потоков жидкости на такие трубки можно разбить все пространство, занимаемое жидкостью.
Динамика движения реальной жидкости очень сложна. Для упрощения ее описания в некоторых случаях можно пренебречь силами внутреннего трения. Такую жидкость называют идеальной. При движении идеальной жидкости не происходит превращения механической энергии во
110
ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
внутреннюю, т. е. механическая энергия жидкости сохраняется. Закон сохранения механической энергии для идеальной несжимаемой жидкости выражается уравнением Бернулли.
Рассмотрим часть жидкости, заключенную между сечениями ASi и AS2 некоторой трубки тока, расположенными на высотах hr и ht соответственно (рис. 14.3). За промежуток времени At эта жидкость смещается вдоль трубки тока и занимает новое положение между сечениями AS( и AS2.
Для малого промежутка времени At можно пренебречь различием между площадями AS и AS' старых и ноеых сечений и различием в их высотах. Подсчитаем работу, совершаемую внешними силами над выделенной жидкостью за время At. Силы давления, действующие на боковую поверхность трубки тока, работы не совершают, так как действуют перпендикулярно перемещению. Работа силы давления в сечении ASX равна pxAS^iA/, работа в сечении AS2 равна —p2AS2v2At, так что полная работа внешних сил
AA — PiASiViAt — p2AS2v2At. (14.4)
В силу стационарности движения энергия жидкости между сечениями AS^ и AS2 не меняется. Эта часть жидкости показана на рис. 14.3 двойной штриховкой. Поэтому изменение энергии рассматриваемой жидкости равно энергии части жидкости между сечениями AS2 и AS2 минус энергия части жидкости между сечениями ASi и AS^. Потенциальная энергия части жидкости между AS2 и AS2 равна р AS2 v2 Atgh2, ее кинетическая энергия равна 7гр AS2u2 Atv\. Аналогично записываются выражения для
§ 14. ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
111
энергии жидкости между сечениями и ASj. Поэтому изменение энергии всей выделенной части жидкости в рассматриваемой трубке тока за время At равно
АЕ = р AS2 v2 At gh2 + -?r P AS2 v2 At v\ —
•— ASj v1 At gAj + Y P ^1 vi ^ ui) • (14.5)
На основании закона сохранения механической энергии работа внешних сил (14.4) равна изменению энергии системы (14.5). Учитывая уравнение неразрывности (14.3), получим
Pi + Pghi + YPvi = P2 + PgK + -^Pvt- (14-6)
Это и есть уравнение Бернулли. Оно было выведено для
достаточно узкой трубки тока и, строго говоря, справедливо, когда эта трубка сжимается в линию тока. Поэтому
а) б)
Рис. 14.4. Манометрическая трубка в потоке жидкости.
сумма p+pgft+ypy2 остается неизменной вдоль одной
и той же линии тока.
В неподвижной жидкости в состоянии равновесия согласно закону Паскаля давление не зависит от ориентации площадки. А как обстоит дело в движущейся жидкости? Уравнение Бернулли дает возможность ответить на этот вопрос в случае стационарного течения идеальной несжимаемой жидкости. Оказывается, что величина измеряемого неподвижным манометром давления зависит от ориентации площадки в потоке.
