Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
7 1 *
и0 > а 1 ^ и
,
S Я
*' ' *
v* <---------v* ч---------у2
элементы которой удовлетворяют соотношению
(«*, vt) = RS (и0, v2),
и точка (и*, v*) е G.
Тем самым существование в G вспомогательного отображения RS доказано, доказано и то, что область G преобразуется в себя. Осталось установить сжимаемость отображения RS. В силу сжимаемости каждого из вспо-
§ 3] ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ 301
могательных отображений S и R, имеем неравенства | бы* 1 + | 8v*0 1 < q (| бы0 | + ] 6v*x 1),
1 бы* 1 + 1 8vf 1 < q (1 бы* ) + 1 8v2 1), из которых непосредственно следует условие сжимаемости ] бы* 1 + 1 би* ] < q (1 бы0 ) + 1 6у2 1)
для вспомогательного отображения RS, что и требовалось.
В качестве примера, к которому может быть применена сформулированная и доказанная теорема, можно взять отображение рис. 7.54. Отображение, соответствующее этому рис. 7.54, получило название подковы Смейла
[27]. Смейл [52] обратил внимание на наличие у такого отображения бесконечного множества различных седло-вых неподвижных точек, а также на то, что эти неподвижные точки сохраняются при произвольных малых
Рис. 7.60
вместе с производными возмущениях точечного отображения. Этот факт в свете существовавших в то время представлений о грубых динамических системах был неожиданным и послужил толчком к ряду работ других математиков [27].
Подкова Смейла является простейшим примером такого рода, аналогичные ей примеры точечных отображений представлены на рис. 7.60 и могут быть легко
302 МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 7
ГОМОКЛИНИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
303
продолжены. На рис. 7.61 — 7.63 изображены преобразования, также допускающие применение теоремы 7.3 и естественно порождаемые фазовыми траекториями дифференциальных уравнений третьего порядка. На рис. 7.61 области 6гг, G2 и G3 представляют последовательные преобразования области G0. Такого рода отображение возникает при пересечении сепаратрис седловой неподвижной точки и будет рассмотрено в следующем параграфе. На рис. 7.62 изображено отображение кольца в кольцо. При этом области G и а преобразуются соответственно в U и а. Наличие изображенного на рис. 7.62 пересечения областей а и а говорит о многозначности вспомогательного отображения, наличии бесконечного числа различных седловых кратных неподвижных точек и о сложной структуре точечного отображения. Рис. 7.63 изображает последовательные преобразования (?i, G\ и Gl, Gl областей G° и Gl. Такого вида отображение порождается так называемой гомоклинической структурой, которая будет рассмотрена в следующем параграфе.
В заключение заметим, что хотя изложение ради наглядности относилось к двумерным отображениям, все сказанное легко переносится на многомерные отображения, а формулировка и доказательство основной теоремы остаются прежними [41].
§ 4. Гомоклинические структуры
Вернемся к рассмотрению многомерных динамических систем, описываемых гладкими дифференциальными уравнениями. Ранее были рассмотрены малые окрестности состояний равновесия и периодических движений. Естественным дальнейшим шагом является рассмотрение малых окрестностей нескольких фазовых траекторий, составляющих нечто целое. Одним из таких комплексов, рассмотрение которого приводит к нетривиальным результатам, является гомоклиническая структура [40].
Под гомоклинической структурой понимается некоторое множество седловых периодических движений Г?’9 одного и того же типа и двоякоасимптотических к ним движений yij. Фазовая траектория yij двоякоасимптотическая в том смысле, что при t — оо она асимптотически приближается к периодическому движению Г?’5, а при t -v -(- оо — к rf’7. Гомоклиническая структура опре-
304
МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 7
деляется множеством ?9i входящих в нее троек (i, j, к). Принадлежность тройки целых чисел (г, /, к) множеству означает, что в гомоклиническую структуру входят периодические движения Tf’3 и Г|’3, а также двоякоасимптотическое к ним движение
Множество троек ?№ может быть представлено графом с направленными ребрами. Для этого каждому седловому движению ТРЛ сопоставим вершину Мг графа, а каждому двояко асимптотическому движению y|j — направленное ребро ту, соединяющее вершину Mt с вершиной Mj. На рис. 7.64 изображен граф, отвечающий множеству 9К,
состоящему из троек (1, 1, 1), (1, 2, 1), (2,1, 1), (2, 2, 1) и (2, 2, 2). На этом рисунке ради простоты вершины и направленные ребра обозначены так же, как и Рис. 7.64 соответствующие им фа-
зовые траектории. Непосредственно ясно, что граф гомоклинической
структуры можно предполагать связным и что наибольший интерес представляют гомоклинические структуры, графы которых содержат замкнутые контуры.
Гомоклинические структуры возможны в динамических системах, описываемых дифференциальными уравнениями, с размерностью, не меньшей трех. Двумерные системы гомоклинических структур иметь не могут. Однако двумерные точечные отображения такие структуры допускают. Для динамической системы, описываемой
