Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
продолжено А. Донжуа и др. В работе [33] Л. Г. Майера были найдены условия грубости и выяснен вид грубого отображения окружности на себя, а также установлена непрерывная зависимость числа вращения Пуанкаре от параметра. Подчеркнем, что речь идет о гладком взаимно однозначном отображении окружное™ на окружность, которое можно записать в виде
где 0 (О) — гладкая и в силу взаимной однозначности монотонно возрастающая функция угловой переменной Важнейшей характеристикой такого точечного отображения является его число вращения р,. В случае, когда преобразование окружности на себя представляет собою вращение на угол а, число вращения р равно а/(2я). В общем случае число вращения определяется как предел
n/q У а)
а/ч
У
В)
Рис.*• 7.38
(7.48)
(7.49)
где ап — угол, па который поворачивается точка # окружности при ее п последовательных преобразованиях. Угол ап зависит от выбора точки #, однако значение пре-
286 МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 7
дела от выбора начальной точки # не зависит. Он существует при любом и при любом •& один и тот же. Существование предела вытекает из монотонности преобразования
(7.48).
Из существования предела и его независимости от начальной точки ¦& вытекает, что при иррациональном |х отображение не имеет неподвижных точек, в том числе и кратных. Напротив, при рациональном р — р/г/, где
р и q — взаимно простые целые числа, отображение имеет неподвижные точки кратности q и только такой кратности*
Дальнейшим важным фактом является непрерывная зависимость числа вращения |х от параметров, от которых само отображение зависит непрерывно.
Интересно еще отметить, что в общем случае при (х = p/q отображение имеет четное число простых (грубых) циклов по q неподвижных точек кратности q. Такая структура точечного отображения сохраняется при малых возмущениях параметров, от которых точечное отображение и его производная зависят непрерывно. Поэтому зависимость числа вращения от таких параметров такова, что каждое рациональное значение |х сохраняется неизменным в некоторых областях их изменения. На рис. 7.39 изображен примерный график зависимости числа вращения от параметра, который обозначим буквой v, с соблюдением этого требования.
В заключение рассмотрим диаграммы взаимно однозначных точечных отображений окружности на себя. Пусть число вращения р ф 0. Тогда точечное отображение не имеет простых неподвижных точек и его график
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
287
имеет вид, представленный на рис. 7.40. На следующем рис. 7.41 приведены диаграммы для степеней этого отображения, т. е. для отображений Т2 и Т3 в случае, когда ft Ф V2, V3, 2/3 и, следовательно, когда ни одна из этих степеней отображения Т не имеет неподвижных точек.
На рис. 7.42 приведена диаграмма отображения Т в случае, когда ц = V3. Здесь имеется два цикла, каждый из которых состоит из трех трехкратных неподвижных точек. Один цикл из устойчивых неподвижных точек и другой — неустойчивых.
3. Критерии существования неподвижной точки многомерного точечного отображения. Уже на примере точечного отображения прямой в прямую можно было^видеть,
насколько сложным может быть поведение его последовательных преобразований. С увеличением размерности, естественно, трудности исследования и возможная сложность поведения значительно возрастают. Однако все же разница между одномерными отображениями и многомерными не столь разительна, как между двумерными и многомерными дифференциальными уравнениями. Некоторое объяснение этому можно видеть в том, что рассмотрение двумерной системы дифференциальных уравнений при сведении к точечному отображению прямой в прямую всегда приводит к взаимно однозначным отображениям, структура которых очень проста. В то время как исследование многомерных дифференциальных уравнений может свестись к изучению как многомерных точечных отображений, так и невзаимно однозначных одномерных точечных отображений.
288
МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 7
Один из важнейших вопросов, которые возникают при исследовании точечного отображения, — это вопрос о его неподвижных точках, их существовании, числе и устойчивости. Один из наиболее общих критериев существования неподвижной точки основывается на широко известной теореме Брауэра. Эта теорема утверждает, что любое непрерывное отображение Т, преобразующее многомерный шар или любую гомеоморфную шару область G в себя, имеет в G по крайней мере одну неподвижную точку х*. Под гомеоморфностью области G шару имеется в виду, что она является некоторым взаимно однозначным и взаимно непрерывным отображением шара
Ху 1 •
Требования непрерывности отображения Т и гомеоморфности области G шару существенны, т. е. нарушение любого из них может привести к отсутствию неподвижной точки.
