Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
I! I! < В, II t II < е (7.72)
и не имеющих с ?г других пересечений.
Окрестность б?; также определим как совокупность отрезков фазовых траекторий, начинающихся на секущей Si, кончающихся на Sj и таких, что координаты начала (и\ г/) и конца (и3, v3) связаны отображением Lij, причем || и1 || б, || vj || <; б. При неограниченном уменьшении е и б окрестности б и б[;- стягиваются к фазовым кривым Г?’9 и yij.
Возьмем теперь произвольную фазовую траекторию, целиком лежащую в окрестности б рассматриваемой гомо- • клинической структуры. Эта фазовая траектория как при возрастании, так и убывании времени вновь и вновь пересекает секущие поверхности Sx, S2, . . ., Sm, причем каждые две последовательные точки пересечения связаны между собой одним из преобразований Tt (i = 1, 2, . . .
. . ., т) или L}j ((i, j, к) ЕЕ ®). Тем самым каждой фазовой траектории, лежащей целиком в окрестности б, соответствует некоторая бесконечная в обе стороны последовательность отображений, составленная из отобра-
§ 4] ГОМОКЛИНИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ 311
жений Tt и Lij. Целью дальнейшего изложения является изучение этого соответствия. Для этого представим бесконечную в обе стороны последовательность точек и связывающих их отображений в виде схемы
. . . — i- ui*1 —> й1з~1 —> ui —> и1} —> . . .
J I 7'nj-1 J | T"J~X . 1 | fni\ I П 73\
. . .<— ¦>— v‘j~x <— rli V1}
В силу сделанного определения окрестности б гомокли-ническои структуры, в этой схеме точки (и j, v j) и (й j-1, v i) (/ — ... —1, 0, 1, . . .) принадлежат областям определения вспомогательных отображений
Т\[ и i , т. е.
i з-1 }
(ui, Vi) е % , ф-\ vi) е Dr,. г (7.7-1)
ч Li^ij
и имеют место соотношения
(ui, vi) Т;/ (ui, v'i),
(7.75)
Имеет место и обратное, т. е. если в схеме вида (7.73) выполнены условия (7.74) и соотношения (7.75), то ей отвечает фазовая траектория, целиком расположенная в окрестности б и пересекающаяся с секущими поверхностями Slt Sг, . . ., Sm последовательно при возрастании времени в точках
. . . (иН гЛ'-i), ф-1, (Д */;), . . . (7.76)
Таким образом, вопрос об изучении движений, целиком расположенных в окрестности б гомоклинической структуры, свелся к изучению последовательностей точечных отображений.
Точечные отображения этой последовательности имеют вспомогательные отображения, причем отображения Т* — сжимающие с коэффициентом сжатия, не большим qn (д с С 1), а отображения Lij имеют константу Липшица, не большую К. Ради полной определенности примем, что под сжимаемостью отображения Т” с коэффициентом сжатия,
312
МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 7
не большим г/\ имеется в виду выполнение для него неравенства
|| 6wi|| + I би‘|| < qn ( || 6w‘j| + || 6?J|| ), (7.77)
а под ограниченностью константы Липшица для отображения L'lj — выполнение неравенства
|| Ы || 4 || б,У || < К ( || Ьи1 || + || Ы || ). (7.78)
Пусть п* — число, определяемое из условий
EQ"' < 6, 2Kqn* < 1. (7.79)
Назовем допустимой всякую последовательность точечных отображений вида
• • • 7<м, . .. Г<._х, . . . Ti.Lijiij+1,. . ., (7.80)
у которой все тройки (ij, ij+1, kj) Gr ЭД. Имеет место сле-
дующая теорема.
Теорема 7.4. Для всякой допустимой последовательности (7.80), в которой все отображения повторяются не менее чем п* раз, в окрестности б гомоклинической структуры имеется одна и только одна фазовая траектория, отвечающая этой последовательности точечных отображений.
Доказательство этой теоремы полностью подготовлено предшествующим. Осталось его завершить. Для этого достаточно сопоставить допустимой последовательности
(7.80) схему вида (7.73) и выбрать в ней точки (ui, v i) и (ui, v i) произвольным образом, лишь бы удовлетворялись условия (7.74). Если теперь к этой схеме применить все преобразования L'li,im , а затем все отображения
Ti3., то придем в силу первого из неравенств (7.79) к схеме, опять удовлетворяющей тем же условиям (7.74). Кроме того, в силу второго из условий, эта схема подвергалась сжимающему преобразованию.
Повторяя описанный процесс неограниченное число раз, придем к предельной схеме, удовлетворяющей не только условиям (7.74) , но и соотношениям (7.75), что и требовалось.
Заметим, что если второе из условий (7.79) отбросить, то сжимаемость схем при их пересчете описанным образом не будет гарантироваться, но схема после преобразования снова будет удовлетворять условиям (7.74). Этого
ГОМОКЛИНИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
313
достаточно для доказательства существования требуемой фазовой траектории. Однако утверждать, что она единственная, уже нельзя.
Доказанная теорема дает полное описание всех движений, целиком находящихся в достаточно малой окрестности гомоклинической структуры. Совокупность этих движений достаточно сложна. При достаточной малости окрестности б гомоклинической структуры все эти движения седлового типа. Среди них бесчисленное множество периодических движений, отвечающих всевозможным периодическим последовательностям вида (7.80), асимптотических к этим периодическим, устойчивых по Пуассону непериодических. Несмотря на необычайную сложность этого множества движений, оно не изменяет своей структуры при малых гладких возмущениях правых частей дифференциальных уравнений, поскольку его описание с помощью последовательностей точечных отображений
