Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
4. Метод вспомогательных отображений. Описанные выше критерии существования неподвижной точки и особенно критерий, основанный на принципе сжимающих отображений, в тех случаях, когда его удается применить, дает значительные, а иногда и исчерпывающие сведения о поведении изучаемой системы. В качестве примера можно привести произвольную механическую систему с взаимными и собственными комбинированными трениями без падающих участков характеристик трения. К такой системе возможно применение принципа сжимающих отображений, позволяющее установить глобальную устойчивость многообразия состояний равновесия или периодических движений при воздействии на такую систему внешней периодической силы. Применение принципа сжимающих отображений позволяет установить существование и единственность вынужденных колебаний в системе с так называемым конструкционным демпфи-
1Э*
292
МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 7
рованием. Соответствующие примеры могут быть продолжены, но все же они не очень многочисленны, поскольку далеко не всегда имеется сжимаемость. В настоящем разделе излагается метод вспомогательных отображений, позволяющий расширить применение критерия о существовании и единственности неподвижной точки на несжимающие отображения. Ради геометрической наглядности это изложение, как и относящиеся к нему примеры, будет ограничено двумерными точечными отображениями.
Пусть в некоторой области G плоскости (и, v) определено однозначное точечное отображение Т
(и, v) = Т(их v).
(7.51)
Вспомогательным к отображению Т называется отображение Т, преобразующее точку (и, v) в точку (б, г;), если отображение Т точку (и, г;) преобразует в точку (й, v).
Областью определения 5 вспомогательного отображения Т является множество, пробегаемое точкой (и, v), когда точка (и, v) пробегает область
v,v ,
*
G
I
Is
Рис. 7.49
и, и
G
Ш w.
Ш Ш u,u
Рис. 7.50
G. При этом под v понимается вторая компонента точки (й, v), в которую отображение Т преобразует точку (и, v).
Вспомогательное отображение в своей области определения & может быть однозначным или многозначным. Причем многозначность вспомогательного отображения возможна и при взаимной однозначности отображения1* Г. Приведем несколько простых примеров.
Отображение Т определено в квадрате G (| и | 1,
| v | ^ 1) и имеет вид
Гг = Xu, v = v-1z; (0 < X < 1, 0 < v < 1). (7.52)
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
293
Вспомогательное отображение Т запишется в виде
й = %и, v = \v. (7.53)
Его областью определения G будет прямоугольник | и| 1,
| v | ^ v_1. Вспомогательное отображение однозначно.
Исходное отображение — седловое несжимающее, преобразующее квадрат G в прямоугольник, вытянутый по v и сжатый по и (рис. 7.49). Вспомогательное отображение — сжимающее, преобразующее прямоугольник G в лежащий в G меньший прямоугольник G ( |ц| Я,
I v I v) (рис. 7.50).
В качестве второго примера возьмем взаимно однозначное отображение Т вида
й = Kv, v — —a -f- си -f- bvг, (7.54)
где все коэффициенты К, а, b и с положительные. Вспомогательным к нему будет двузначное отображение Т вида
л / v 4- а — си \V* / v А- а — си \Vs ,п Гг\
ц = ) , ^=--(—4----------) . (7.55)
Оно получается разрешением уравнений (7.54) относительно й и V. Области определения отображения Т в виде квадрата G ( | и | 1, | у | ^ 1) соответствует область
определения G вспомогательного отображения Т вида, изображенного на рис. 7.51. Прямоугольник | и | 1,
| v | Я двузначное вспомогательное отображение Т
преобразует в два отрезка Gx и ff2, изображенные на
рис. 7.52, что соответствует вырожденности отображения (7.55). Отметим, что исходное отображение квадрат G ( | ц | ^ 1, | у | 1) преобразует в подковообразную
область G (рис. 7.53). При этом отрезок координатной линии fg (и = const) преобразуется в дугу/f параболы.
Если точечное отображение Т задано следующим образом:
а = / (и, v), v = g (и, v), (7.56)
то для получения вспомогательного отображения Т
в явном виде надлежит второе из уравнений (7.56) разрешить относительно v и записать его в виде v = g (и, v), после чего соотношения (7.56) примут форму
й = / (и, g (и, v)), v = g (и, v),
294
МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ |ГЛ. 7
соответствующую искомой явной ааписи вспомогатель' ного отображения Т.
Разрешение второго из уравнений (7.56) относительно v можно геометрически представить себе как отыскание точек пересечения кривой Fu, заданной параметрическим уравнением v = g (и, v), в котором v — меняющаяся
v (Л,-а+Ь+е)
(Л,-а+с)
(~к,-а-с)
Рис. 7.51
Рис. 7.52
Рис. 7.53
переменная, а и — фиксированный параметр, с прямой L- (v = const). Значения параметра v в точках пересечения кривой Fu с прямой L- определяют требуемое значение v как функцию и и v.
