Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
[28]. Если к этому добавить, что становящиеся неустойчивыми моды колебаний низкочастотные, а механизмы их органичения вызваны диссипацией энергии на высокочастотных модах, то придем к принятой сейчас картине слабой турбулентности. В применении к модели, описываемой уравнениями (7.85), это означает, что состояние равновесия хг = х2 = . . . = хт — 0 усеченной системы
Xt + OHXi = jxfi (хг, . . ., Хт, 0, . . ., 0, хг, . . ., хт, 0, ...
. . ., 0, |Я) (г = 1, 2, . . ,, т),
соответствующей низкочастотной части спектра возможных частот колебаний (предполагается, что уравнения (7.85) записаны в порядке возрастания частот, так что ft>i < < • • ¦ < и„), многочастотно неустойчиво и, на-
против, усеченная система
Xf “f" CdiXi = i (0, . . ., 0, Х,л+±, * • xni 0, . . ., 0,
xm+1, . . ., xn, |Я) (i = m + 1, . . ., n),
СИНХРОНИЗАЦИЯ И СТОХАСТИЧНОСТЬ
319
соответствующая высоким частотам, диссипативна и имеет глобально устойчивое состояние равновесия.
В процессе взаимодействия неустойчивой и диссипативной частей системы происходит перенос энергии от низкочастотных мод колебаний к высокочастотным и устанавливается некоторый спектр колебаний — некоторое распределение амплитуд колебаний парциальных осцилляторов с частотами, близкими к со1, со2> • • • > юп. Это распределение амплитуд может быть найдено, если известны усредненные взаимодействия между парциальными осцилляторами (модами колебаний) системы.
Выше были изложены общие соображения «теории ква-зипериодической стохастичности». Существенную роль при этом играют малые флуктуации и своеобразный механизм их накопления *), своеобразный «усилитель стохастичности». В описанном плане явление стохастизации было противоположным синхронизации. Возникновение синхронизмов приводит к подавлению стохастичности, напротив, развитие стохастичности означает все меньшую степень синхронности колебаний отдельных частей системы.
Существующая к настоящему времени теория позволяет уточнить эти общие соображения применительно к системам с так называемыми быстровращающимися фазами [23]. В предположении уже имеющейся хаотичности фаз, исследование возникающих стохастических распределений колебаний возможно с помощью так называемого кинетического уравнения [26, 49]. Соответствующие исследования привели к созданию физической теории так называемой слабой турбулентности [26].
2. Притягивающие гомоклинические структуры и стохастические колебания. Перейдем теперь к описанию возможных общих механизмов самогенерирования стохастичности динамической системой. Они связаны с появлением в фазовом пространстве динамической системы гомоклини-ческих структур, которое, так же как и возникновение автоколебаний и многопериодических колебаний, вызвано возникновением в системе неустойчивости [24, 25, 42].
Как уже говорилось, под гомоклинической структурой понимается содержащая циклы совокупность нескольких седловых периодических движений и двоякоасимптотических к ним движений. Гомоклиническая структура в своей
*) Подобное накопление имеет место также в некоторых системах автоматического регулирования [32].
320
МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 7
окрестности содержит очень сложную совокупность движений, которая, как было показано, допускает полное описание с помощью последовательностей символов.
Седловые движения гомоклинической структуры могут быть сжимающего или расширяющего типов в зависимости от того, происходит ли уменьшение или увеличение фазового объема в их окрестности. Седловое периодическое движение сжимающее, если сумма его характеристических показателей отрицательна, и расширяющее, если эта сумма положительна.
Движения гамильтоновых систем принадлежат к граничному случаю, так как для них, согласно теореме Лиу-вилля, имеет место сохранение фазового объема.
Назовем гомоклиническую структуру поглощающей или устойчивой, если из некоторой ее окрестности фазовые траектории при возрастании времени не могут выходить и все близкие к ней фазовые траектории в нее входят.
Приведем примеры динамических систем с притягивающими гомоклиническими структурами.
Возьмем неавтономную систему второго порядка вида
дН , „Ш , ,, ..
-[-цЯ-я- + vf(q,p,t),
1 др ^ да
С7.87)
дН , „ дН , , ..
Р = - -щ- + (<?, р, f),
где ц и v — малые параметры, Н (р, q) — функция Гамильтона невозмущенной системы, / (g, р, t) и g (q, р, t) — периодические периода 2п функции времени t. При |i = = v = 0 эта система допускает интеграл энергии
Н (q, p) = h (7.88)
и имеет очень простую структуру разбиения фазовой плоскости: особые точки — только центры и седла, все
