Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
(7.80) при этом не меняется. Пока не происходит бифуркаций самой гомоклинической структуры, не происходит бифуркаций с движениями, находящимися в достаточно малой окрестности гомоклинической структуры.
Доказательство седлового характера движений, находящихся в достаточно малой окрестности б, непосредственно следует из того, что вспомогательное отображение
T^LtjT"3 (7.81)
при достаточно больших nt и rij является сжимающим, и того, что при уменьшении окрестности б числа повторений отображений Тв последовательности (7.80) равномерно неограниченно возрастают.
Заметим, что последовательность отображений (7.80) можно считать составленной из отображений вида
Т'ЧЪТ*1 ((*,;, А) е®), (7-82)
что эти отображения при достаточной малости окрестности б удовлетворяют условиям теоремы 7.3 и поэтому, согласно этой теореме, любое произведение таких отображений
(7.83)
имеет в области Dt~. единственную седловую неподвиж-
h
ную точку. Это утверждение в основном исчерпывает содержание теоремы 7.4.
МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 7
§ 5. Синхронизация и стохастичность
Содержание настоящего параграфа не является традиционным для теории колебаний. В теории колебаний случайные колебания рассматривались лишь как результат случайных воздействий на колебательную систему. Возможность самогенерирования динамической системой случайных колебаний, несмотря на очевидную реальность стохастических волн и турбулентных колебаний, оставались вне рассмотрения. Отчасти это связано с тем, что основными установившимися движениями, исследуемыми в теории колебаний, были простейшие типы движений — состояния равновесия, периодические движения и в значительно меньшей мере квазипериодические. Более сложные движения представлялись не поддающимися изучению и имеющими весьма отдаленное отношение к движениям реальных систем. Нелинейное колебательное мышление, воспитанное в основном на фазовой плоскости, не допускало такой возможности и считало стохастичность уделом систем с очень большим числом степеней свободы, настолько большим, что все запутывается, становится неясным и стохастичным. Возникновение стохастичности в механике и физике также обычно связывалось с большим числом степеней свободы, с большим числом возможных колебаний или волн.
Все это не совсем так, стохастичность может возникнуть и в динамических системах с небольшим числом степеней свободы. Достаточно, чтобы фазовое пространство было более чем двумерное. Соответствующие примеры были известны давно. Казались они чем-то исключительным, плодом тонких математических измышлений. Однако это совсем не так, и стохастические движения столь же рядовое явление в системах с более чем одной степенью свободы, как и состояния равновесия и периодические движения.
Ниже будут описаны возможные общие механизмы возникновения стохастичности. Обычно в одной и той же системе в зависимости от значений ее параметров может быть, а может и не быть стохастизация. При каких-то значениях параметров ее нет и система имеет простейший установившийся режим — состояние равновесия или периодическое движение — при других значениях параметров имеют место стохастические колебания. При непрерывном переходе от первых значений параметров ко
СИНХРОНИЗАЦИИ И СТОХАСТИЧНОСТЬ
315
вторым происходят сложные изменения установившегося процесса. Эти изменения могут происходить постепенно или скачком. В первом случае возникновение стохастич-ности естественно назвать мягким, во втором — жестким — в полной аналогии с мягким и жестким возникновением автоколебаний при потере устойчивости равновесного состояния.
Поясним, что понимается под общим механизмом возникновения стохастичности. Лучше всего это сделать на привычном примере автоколебаний.
В чем механизм автоколебаний или механизм возникновения автоколебаний? В случае мягкого возникновения он состоит в появлении неустойчивости равновесного состояния, приводящего к нарастающим колебаниям, и в одновременном ограничении этого нарастания. Как компромисс между возникшей неустойчивостью и подавлением больших колебаний и возникает устойчивый периодический режим — автоколебание. Это не единственный
Рис. 7.70
механизм, но это очень часто встречающийся общий механизм. В некоторых случаях можно указать конкретные физические причины и силовые взаимодействия, порождающие неустойчивость и ограничивающие нарастание колебаний. Особенно наглядно это обнаруживается у систем, близких к консервативным. Однако вне зависимости от природы и характера этих сил в фазовом пространстве при мягком возникновении автоколебаний происходят изменения, показанные последовательно на рис. 7.70, соответствующие одной из описанных ранее общих бифуркаций состояния равновесия. Вот эти рисунки и описываемая ими бифуркация и составляют содержание слов — общий механизм мягкого возникновения авто-