Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
316
МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 7
колебаний. Подчеркнем общий механизм с точки зрения теории колебаний, изучающей динамические закономерности разной природы, отвлекаясь от конкретного их содержания.
1. Синхронизация, десинхронизация и многопериодическая стохастичность. Перейдем к описанию первого возможного механизма возникновения стохастичности, который можно представлять себе одновременно как все уменьшающийся синхронизм в колебаниях отдельных парциальных степеней свободы или частей системы, как все большую хаотизацию движений парциальных частей системы. Этот процесс можно представить себе как продолжение изменений, представленных на рис. 7.70 и 7.71, состоящее в том, что возникшее периодическое движение 1\ теряет устойчивость и от него отделяется двумерное устойчивое интегральное многообразие Г2, состоящее из двоякопериодических движений. При этом предполагается, что число
вращения Пуанкаре на h родившемся торе либо иррационально, либо рационально, но с достаточно большим числителем или знаменателем. Затем, в свою очередь, это тороидальное интегральное многообразие Г2 теряет устойчивость и от него Рис. 7.71 рождается трехмерное ус-
тойчивое тороидальное многообразие, составленное из троякопериодических движений и т. д., вплоть до появления устойчивого тороидального многообразия Гт, составленного из т-пе-риодических движений. При m-периодическом движении закон изменения каждой из фазовых переменных может быть записан в виде
х = ^ (&V + фх, . . ., amt + фт), (7.84)
где ^ (их, и2, . . ., ит) — периодическая с периодом 2я функция каждой из переменных ult и2, . . ., ит. Процесс, описываемый уравнением (7.84), не является случайным. Это либо квазипериодический процесс, либо процесс с очень большим периодом, вообще говоря, возрастающим с ростом числа т. Он обладает свойством приблизительной повторяемости через достаточно большие времена Т (е)
СИНХРОНИЗАЦИЯ И СТОХАСТИЧНОСТЬ
317
(е — точность повторения). Лишь на промежутках времени, меньших Т (е), он похож на случайный процесс. При длительном наблюдении «случайность» такого процесса могла бы быть разоблачена путем обнаружения его квазипериодичности, однако этому мешает своеобразное накопление малых флуктуаций, которые неизбежны в каждой реальной системе. Время Т (е) вообще много больше отдельных периодов 2л/с)х, . . ., 2л/(о1П и с ростом числа m экспоненциально возрастает, поэтому даже очень малые в масштабе этих периодов флуктуации фаз A<plt . . ., Афт могут привести к существенному накоплению фазовых сдвигов за время Т (е), достаточных для разрушения повторяемости и стохастизации. В качестве некоторой модели описанного явления стохастизации и связи его с десинхронизацией можно взять систему большого числа слабо взаимодействующих гармонических осцилляторов, описываемую дифференциальными уравнениями вида
Xi -{- ~ (Х/1 (#1, . . ., Xnt XXl . • ., ХП1 (Л-)
(; = 1, 2, . . ., га), (7.85)
которая после введения новых переменных рг и фг и замены
Xt = рг Sin ф;
приводится к виду системы с быстровращающимися фазами
фг- = toi + цФг (фх, . . ., ф„, plt . . р„, ц),
Рг = [iRt (ф1? . . ., ф„, рх, . . ., р„, ц).
В такой системе возможны многопериодические движения, образующие устойчивые тороидальные многообразия. Полным синхронизмом движений всех парциальных осцилляторов естественно считать либо равновесие системы, либо ее периодическое движение. При периодическом движении все парциальные осцилляторы колеблются с общей частотой и с вполне определенными фиксированными разностями фаз. Периодическое движение можно рассматривать как тороидальное многообразие размерности единицы. С увеличением размерности тороидального многообразия в колебаниях отдельных осцилляторов все меньше и меньше согласованности и, наконец, при максимальной размерности, равной га, между ними нет никаких связей.. Вместе с уменьшением степени синхронизма все увеличивается стохастичность колебаний
318 МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 7
системы. Размерность возникающего тороидального многообразия зависит от соотношений между частотами о)2, . . юп. Наличие между частотами простых резонансных соотношений приводит, вообще говоря, к снижению размерности тороидального многообразия вплоть до возникновения синхронных колебаний. При этом под простым резонансным соотношением понимается, что при некоторых, сравнительно небольших целых числах кг, к2, . . ., кп имеет место равенство
/ci©i -f- А'гМг -f- . . . -f- kncon = 0.
Чем больше таких простых независимых резонансных соотношений, тем ниже размерность возможного устойчивого тороидального многообразия и больше степень синхронности колебаний парциальных осцилляторов. Напротив, отсутствие таких простых резонансных соотношений способствует возникновению многочастотных колебаний, для которых учет флуктуаций путем добавления к правым частям уравнений (7.86) малых случайных воздействий и т]г приводит к стохастическим дрейфам фаз <plt ф2, . . ., фп, пропорциональным дисперсиям случайных воздействий и растущим с временем t как У t-Описанный механизм «стохастичности» по существу совпадает с известным общим описанием Л. Д. Ландау возникновения турбулентности течения жидкости через появление большого числа неустойчивых волновых мод
