Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Так, например, точке х'\ согласно рис. 7.37, б соответствует последовательность 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, . . . Это соответствие однозначно. Оказывается, что оно и взаимно однозначно. Более того, оказывается, что для любой последовательности (7.47) из единиц и двоек можно на'йти точку х°, которой она соответствует. Доказательство этих, на первый взгляд весьма удивительных утверждений, может быть получено сравнительно просто и опирается на довольно общие утверждения, значительно выходящие за
)]•
где
(7.47)
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
283
рамки рассматриваемого примера. Эти общие утверждения составляют основу так называемого символического описания точечного отображения и символической динамики [35], о которой применительно к рассматриваемому примеру пойдет речь.
Очень кратко это символическое описание состоит в следующем. Каждая точка х° — [0, 1] взаимно однозначно описывается символической последовательностью г0, it, г2, . . ., составленной из двух символов 1 и 2. Тем самым множество точек отрезка 10, 1] можно рассматривать как множество всевозможных символических последовательностей (7.47). Пусть точке х° отвечает символическая последовательность i0, ilt i2, . . ., тогда точке х1 = = Тх°, как очевидно, отвечает последовательность гх, г2, г3, . . . То есть в множестве символических последовательностей точечное отображение Т представляется как весьма простая операция отбрасывания первого символа.
Перейдем к доказательству сделанных утверждений. Надлежит доказать, что любой последовательности (7.47) отвечает некоторая точка х° и что такая точка единственная. Если бы такая точка существовала, то ее последовательные преобразования были бы связаны соотношениями (7.46), которые перепишем в виде
-v.o _ у:1 ,л ... t — Т~х-А т2 ____ 7'г1-,.а
JU --- /. ln X 1 Л.- - J. X , чЛу -- ± J, , . . .
На самом деле ни одна из точек хг нам неизвестна, нам известно лишь, что все они лежат на отрезке [0, 1]. Но оказывается этого уже достаточно, чтобы их найти. Действительно, из того, что точка хп Ег [0, 1], следует, что точка ж"-1 принадлежит некоторому отрезку [ах, |3Х], лежащему внутри пего и имеющему в два раза меньшую длину. Аналогично, из того, что хп_1 ЕЕ [ах, PJ, следует, что хп~2 [ct2, РгЬ длина которого также в два раза меньше длины предшествующего отрезка [с&х, |3Х], и т. д. Таким образом, х° принадлежит некоторому отрезку [ап, |3П] длины 2~п. При этом из того, что точка х° GE [ап, Р„], следует, что ей отвечает некоторая последовательность, п первых символов которой совпадают с п первыми символами последовательности (7.47). Если бы мы начали не с точки хп, а с еще более далекой точки хт {г> п), то аналогично пришли бы к тому, что точка х° Ег €Е \аг, Рг] С lan, |3J, где длина сегмента [аг, Рг] равна 2~т. Это рассуждение можно продолжить. Таким образом,
284
МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 7
требуемая точная0 принадлежит вложенным друг в друга сегментам неограниченно уменьшающейся длины. Как известно, существует одна и только одна точка, удовлетворяющая этому требованию. Это и доказывает сделанное утверждение.
Простым примером конкретной системы, исследование движений которой приводится к отображению только что рассмотренного вида, является осциллятор с отрицательным трением и демпфирующими его колебания ударами.
При х Ф О или х == 0, но х <Z а, движения осциллятора описываются уравнением
х — 2б? 4- а>2х — О,
а при х — 0их^а^>0 происходит удар, при котором координата х не меняется, а скорость х испытывает скачок, так что послеударная скорость х+ и доударная х_ связаны соотношением
?+ = — Р (Р> 0).
Из этих уравнений следует, что последовательные значения у и у скорости х после пересечения фазовой точкой (.г, х) луча х = 0, х 0 связаны соотношением
___j ЧУ при qy <а,
!> _ I ЧУ — Р при qy > а,
где ц -- ехр , ?22 = ш2 — б2.
Эти соотношения между уму можно трактовать как точечное отображение прямой в себя. На рис. 7.38 его
графики изображены при а -~~i и ПРИ а q {" •
В первом случае последовательные преобразования любой точки уф 0 неограниченно возрастают. Во втором случае в зависимости от начального значения у имеет место либо возрастание последовательных преобразований, либо все последовательные преобразования, несмотря на неустойчивость (dy/dy 1), ограничены и носят стохастический характер, в общем случае всюду плотно запо.#няя интервал (а — р) q <Z у < Щ — Р-
2. Отображение окружности в окружность. Отображение окружности на окружность может рассматриваться как частный случай отображения прямой в прямую.
вспомогAmm.мые сведения
Поэтому все сказанное ранее об отображении прямой в прямую применимо и к отображению окружности в окружность. Однако этот частный случай обладает особенностями, заслуживающими дополнительного изучения. Впервые отображение окружности на себя изучал А. Пуанкаре 147] в связи с качественным исследованием фазовых траекторий тга двумерном торе. Это исследование было
