Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
точечным отображением, под гомоклинической структурой естественно понимать некоторое множество седловых неподвижных точек и двоякоасимптотических к ним фазовых траекторий (последовательностей преобразующихся друг в друга точек). Простейшая гомоклиническая структура для точечного отображения возникает при пересечении сепаратрисных инвариантных многообразий— седловой неподвижной точки двумерного точечного отображения. Возникающая при этом сложная картинка взаимопересечений сепаратрисных кривых уже описывалась.
Рассмотрим, как преобразуется в случае пересечения сепаратрисных кривых S+ и S1 седловой неподвижной
ГОМОКЛИНИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
305
точки Oul изображенная на рис. 7.65 область G0. В окрестности седловой точки происходит сжатие по оси и, касательной к сепаратрисной инвариантной кривой ?t, и растяжение вдоль оси v, касательной к кривой Sx. Поэтому область G0 перейдет в область Gx. Затем она преобразуется в область G2, область G2 — в G3 и т. д. При этом придем к первой картинке рис. 7.61. Согласно этой картинке, область G0 испытывает сжатие вдоль оси и, растяжение вдоль оси v и преобразуется в область G3, многократно пересекающую область G0.
Пусть отображение, преобразующее G0 в G3, есть Тт и область G3 пересе^ кает область G0 п раз.
Тогда вспомогательное отображение Тт распадается на п однозначных отображений Т™, ..., Т™, каждое из которых преобразует область G0 в себя.
Отсюда следует, согласно теореме 7.3, что отображение Т имеет бесчисленное множество различных
кратных неподвижных точек, отвечающих всевозможным различным произведениям вспомогательных отображений Г™, ..., Тп- Это говорит об очень сложной структуре точечного отображения Т в окрестности рассматриваемой гомоклинической структуры.
После этих предварительных пояснений перейдем к общему изучению движений, находящихся в малой окрестности б произвольной гомоклинической структуры. Для этого прибегнем к методу точечных отображений, для чего каждую замкнутую фазовую траекторию Г?’9 в некоторой ее точке Ot пересечем секущей St. Фазовые траектории, близкие к Tf ’9, порождают на секущей St точечное отображение Тг. В окрестности бг точки Ot на секущей St в подходящим образом выбранной системе локальных координат (и1, vl) отображение Tt можно
306
МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 7
записать в виде
й1 — [At + fi (и1, V‘) ] и\ V1 = [Bi + gi (и\ У1)] v\
(7.64)
где и1 и vl — (р — 1)- и соответственно (q — 1)-мерные векторы, At и Вi — матрицы с собственными значениями, лежащими внутри и соответственно вне единичного круга, fi п Si. — гладкие функции, обращающиеся в нуль в точке Oj (и1 = 0, Vх = 0). При этом локальные переменные выбраны так, чтобы На пересечениях интегральных многообразий Sq и Sp размерностей р и q седлового периодического движения Tf’9 и секущей 5г имело место иг = 0 и соответственно vl = 0.
Точечное отображение при и1 — 0 имеет точку Ot своей устойчивой неподвижной точкой. Отсюда следует, что матрица At имеет все собственные значения внутри единичного круга. Аналогично убеждаемся, что матрица Bt имеет все собственные значения вне единичного круга. Далее из равенств иг = 0 и Vх = 0 должно следовать йг = 0 и Vх — 0, что и обосновывает вид (7.64) отображения Т i.
Формулы точечного отображения Tt можно записать в виде
й{ = [Ai + fi (и\ vl\ и\ vl — [ЙГ1 + gi (и\ v1)] vl, (7.65)
определяющем отображение 7%, вспомогательное к отображению Тi. Вспомогательное отображение Tt определено
в некоторой области , заданной неравенствами
1 i
II и* Ц < е, || v* II < е (7.66)
с достаточно малым е 0, преобразует ее в себя и является в ней сжимающим.
Если эти утверждения не покажутся очевидными, то за разъяснениями можно обратиться к рассмотренному ранее в п. 4 § 3 примеру и к теореме 3.10 книги [41]. Как следует из рассмотрений предыдущего параграфа, в этой области Dy. определены все отображения f” (п = 1, 2, ...);
они преобразуют ее в себя и являются в ней сжимающими. При этом коэффициент сжатия оказывается у отображения Ti не большим, чем qn, где q С 1 (теорема 3.12 [41]).
Двоякоасимптотическая кривая y'lj при t —> — оо асимптотически приближается к замкнутой фазовой кри
§ 41 ГОМОКЛИНИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ 307
вой ГГ 4 и поэтому пересекает секущую поверхность Si в бесконечной последовательности точек, лежащих на инвариантном многообразии иг = 0 точечного отображения Ti и стремящихся к точке Ot. Аналогично, при t -*¦ + оо она пересекает секущую Sj в бесконечной серии точек, стремящихся к точке Oj, для которых координаты V* — 0. В каждой из этих последовательностей выберем по одной точке Ml, (иг = 0, vr — v\j) и Nh {и1 — Щр v} — 0) в достаточной близости соответственно от точек
Ot (и1 = 0, vl — 0) и Oj (и1 — 0, ;/ — 0).
Обозначим через отрезок фазовой траектории y}j, соединяющий точки Mtj и Nij. Фазовые траектории, близкие к у?3-, определяют некоторое гладкое точечное отображение Lij секущей St в секущую Sj вида
