Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
и3 — u\j -)- h (иг, г;* — vfj), v3 — г (и\ vl — v\j). (7.67)
Это отображение j'\j инвариантное многообразие и1 = 0, лежащее на секущей St, преобразует в многообразие, лежащее на секущей Sj и имеющее уравнения
и3 = u\j -)- h (0, vx— v'ij), v3 — r(0, vl — vij). (7.68)
Преобразованное многообразие, как и исходное, имеет размерность q — 1. Многообразие v3 — 0 имеет размерность р — 1. Поэтому в общем случае пересечение преобразованного многообразия (7.68) и многообразия v3 = 0 происходит в отдельных точках и без касаний. Общность пересечений этих многообразий на секущей Sj означает общность пересечения многообразий Sq и Sp седловых периодических движений Tf’3 и соответственно Т^’9, которую будем предполагать.
Касательные векторы б иг = 0, б и1 Ф 0 преобразуются в векторы
* ; dh . .dr
8v3 = ~^8vl'
среди которых не должно быть, в силу сделанного.предположения об отсутствии касания, вектора б и3 Ф 0, бг/ = 0. Это. будет иметь место лишь тогда, когда матрица дг/ди1 невырождеппая. Невырожденность в точке
308
МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 7
0,г/= Vij этой матрицы позволяет разрешить второе из уравнений (7.68) относительно г/ и записать отображение
Г
Li} в виде
uj = ulj + h (и1, vj), vl = Vi) + г (иг, и}), (7.69)
соответствующем вспомогательному отображению Это
вспомогательное отображение Zlj определено в некоторой
v\vl
Si
Si
a\al
Рис. 7.67
i5
достаточно малой окрестности D точки и1— 0, и3— 0,
i
которую можно определить неравенствами
<в,
V
<6,
(7.70)
является в ней гладким и имеет константу Липшица, не большую некоторого конечного К.
Проиллюстрируем все сказанное об отображениях Тг и Lij и вспомогательных к ним на примере трехмерной динамической системы.
На рис. 7.66 изображены седловые периодические движения Г?’2 и Г|’2 и двоякоасимптотическое к ним движе-
К _ -f.
ние Yij, инвариантные поверхности и Sа, которые пересекаются по кривой ylj, а также секущие плоскости Si и S], пересекающие Г2’2 и Г2’2 соответственно в точках
ГОМОКЛИНИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
309
область D~
¦» 4
лежащую строго внутри
Oi и Oj. На секущих указаны координатные линии и1 и Vх, а также точки м\) и N\j, у которых, чтобы не загромождать рисунок, индексы опущены.
Отображение Tt седлового типа, точка Ot является его неподвижной точкой. Область Gt ( 1 иг 1 < е, ) vl | < ^ е) оно преобразует в область (?г. Вид этих областей показан на рис. 7.67. Согласно ранее сказанному, отсюда следует существование однозначного вспомогательного отображения Tt, преобразующего область Df ( | иг ]
< е, ] v1 ] < е) в
G{ (рис. 7.68).
Отображение Ti, вспомогательное к Г", преобразует область Gt в область, стягивающуюся к точке иг = 0, v% = 0 при возрастании п (рис. 7.68). Этот факт геометрически подтверждается тем, что отображение Г™ с ростом п все более вытягивается при преобразовании области Gt, превращая ее во все более и более тонкую полоску (см. рис. 7.67).
Рассмотрим теперь отображение Ь*,. Отображение L^ преобразует точку Mi, области Gt на секущей St в точку
|
ч
Рис. 7.е
Nij области Gj на секущей Sj. При этом кривая S~ переходит в кривую S~, пересекающую в точке Nij кривую «Si-
Вспомогательное отображение iXj в этих условиях
определено и однозначно в малой окрестности/) ч- (1 и1 К
Lij
б, ) и3 1 б) точки и1 = 0, v1 — 0 и преобразует ее
в окрестность точки и} — u\j, vx — v\j (рис. 7.69).
Lij
Вернемся к общему рассмотрению. В дальнейшем
310
МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 7
точки Mlj и N\j и величина б предполагаются выбранными
так, чтобы окрестности ZL|,- (к — 1,2,..., кц) вспо-
Lij
могательными отображениями Zij преобразовывались в непересекающиеся между собой области, расположенные внутри области
Du ( | и1 | < е, 1 v’ | < в). (7.71)
Этого всегда можно достигнуть за счет выбора точек Mij и N\j в достаточной близости от точек 0г и Oj и за счет достаточной малости б.
Уточним теперь определение окрестности рассматриваемой гомоклинической структуры. Эта окрестность, назовем ее б, составлена из окрестностей бх, б2, . . ., бт седловых замкнутых фазовых траекторий Tf'9, . . ., Гт9 и окрестностей 6f;- отрезков yfj двоякоасимптотических фазовых траекторий yij. Окрестность бг- определим как совокупность отрезков фазовых траекторий, начинающихся и кончающихся на секущей поверхности St в точках (и1, vг) и (йг, vl), удовлетворяющих условиям
