Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 7.72
траектории, кроме сепаратрис седел, либо замкнутые, либо уходящие в бесконечность.
Допустим, что значению h = 0 соответствуют сепаратрисы седла, имеющие вид восьмерки, изображенной на рис. 7.72; тогда близкие к этой восьмерке фазовые траек-
СИНХРОНИЗАЦИЯ И СТОХАСТИЧНОСТЬ
321
тории ведут себя, как показано на том же рис. 7.72. При
v = 0 и (х 0 сепаратрисные кривые останутся фазовыми траекториями, так как на них Н = 0, а близкие к ним траектории будут асимптотически к ним приближаться. Справедливость этого утверждения непосредственно следует из того, что в силу уравнений (7.87) при v = 0 и
Для изучения движений системы (7.87) при ц и v, отличных от нуля, прибегнем к рассмотрению порождаемого ее
фазовыми траекториями точечного отображения Тгл плоскости t — 0 в плоскость t — 2я. При v = 0 фазовые траектории системы (7.87) являются инвариантными кривыми точечного отображения Т2Л. В частности, седловой особой точке соответствует седловая неподвижная точка отображения Т^. Ее сепаратрисные кривые, образующие восьмерку, являются инвариантными кривыми этой седловой неподвижной точки.
При v = 0 инвариантные кривые седловой точки идут из седла в седло. При v ^Ов отношении их поведения возможен один из шести представленных на рис. 7.73 случаев. Нетрудно видеть, что каждый из изображенных на рис. 7.73 вариантов поведения инвариантных кривых можно реализовать с помощью подбора соответствующих функций / и g и что при этом можно предполагать сколь
ц < О
Рис. 7.73
11 Н. В Бутенин и др.
322 МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 7
угодную малость добавков v/ и vg. При пересечении инвариантных кривых возникает гомоклиническая структура, состоящая из седлового периодического движения, отвечающего седловой неподвижной точке, и нескольких двоякоасимптотических к нему движений, соответствующих точкам пересечения инвариантных кривых. При достаточно малых добавках v/ и vg эта гомоклиническая структура поглощающая, поскольку при v = 0 все фазовые траектории асимптотически приближаются к образуемой инвариантными кривыми восьмерке (рис. 7.74). Напомним, что (д, предполагается отрицательным. Окрестность, в которую все близкие траектории входят, на
Рис. 7.74
рис. 7.74 отмечена штриховкой. Структура этой окрестности очень сложна. В малой окрестности гомоклинической структуры все движения седловые и имеют полное описание с помощью последовательностей символов. Однако малая окрестность гомоклинической структуры является лишь частью окрестности, заштрихованной на рис.7.74.
Полное описание структуры этой более широкой поглощающей окрестности пока неизвестно. Результаты ее численного исследования приведены в работе [И] и более кратко описаны в книге [41]. Сейчас же приведем примеры гомоклинических притягивающих структур, для которых удается указать приемлемое статистическое описание движений в этой окрестности. Это описание может служить прототипом для приводимых выше примеров и для более сложных случаев. Примеры, о которых пойдет речь, строятся с помощью точечных отображений Tt вида
Hi = Kui, vt = v-1^ (0 <[ К < v < 1) (7.89)
и отображений Lfj вида
й} = <р (vt), vj = (vm — 1т) г|) (vt) + № (vt) ut, (7.90)
СИНХРОНИЗАЦИЯ И СТОХАСТИЧНОСТЬ
323
где ф, г)> и % — гладкие, а ф и % — еще и монотонные вместе с первыми производными функции своих аргументов, удовлетворяющие для v vt 1 условиям
1 Ф (щ) 1 < 1, I Ы ] < 1, ! % (vt) | < 1,
г|> (v) = vi|) (1), г|>' (v) = г|>' (1), (7.91)
Ф (1) = Яф (v) = I, ф' (v) = Ьф' (1),
1 Ы = (!). t (v) = Ях (1). 1 1
Отображение Tt область Gt, определяемую неравенствами
1 Ui ] < 1, 1 Vi I < V, ] Ui |-lnv ] Vi ]~In^ < v-m,n?",
(7.92)
где m — целое положительное число, преобразует в область Gi, для которой
I иь ] <; %, 1 vt | < i, | ut |~inv I vt )-i,u < v-™lta.
(7.93)
Области Gt и Gt изображены на рис. 7.75, где они заштрихованы в разных направлениях: Gt — горизонтальными,
a Gt — вертикальными линиями. Точка О (ut = vt = 0) — седловая неподвижная точка. Прямые ut — 0 и vt = 0 преобразуются в себя.
Введем, как показано на рис. 7.75, односвязные области
А], А\, В\ и В\. Каждая точка (ub vt) €Е В\ (к ^ 1, 2,
vi Ф 0) после некоторого числа преобразований Tt переходит в некоторую точку либо области А\, если vt > 0, либо области А*, если vt 0. Число необходимых для
11*
324 многомерные динамические системы [гл. i
этого преобразований Тt может быть любым, не меньшим т. При уменьшении [ vt | это число неограниченно возрастает.
Отображение Lfj преобразует область Ai в область В)• При этом образ А* области Ai лежит внутри области В*, причем образ отрезка иг = 0 в области А* преобразуется в кривую у, пересекающую ось = 0 (рис. 7.76). Искомое отображение Т строится теперь следующим образом:
