Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
[ Ti(u,v), если (u, i>)eGj,
T(u,v)= ,s(i,(f) , (7.94)
I ?t,V,V, Ю (u> v)i еслИ (u» v) Ai,
где / (?, к) и s (i, к) — некоторые целочисленные функции своих аргументов и при этом 1 ^ i п, к = 1,2; 1< ^ и, s = 1, 2. Это отображение Т определено в области G:
п —
G^U^iUGi) (7.95)
!= 1
и преобразует ее в себя. В силу гладкости функций tp, ¦ф и % и условий (7.91) Т — гладкое отображение.
Пусть п = 1, / (1, 1) = 1, / (1, 2) = 1, s (1, 1) = 1 и s (1, 2) = 2. Соответствующее этому случаю отображение схематически изображено на рис. 7.77. Оно может быть
гладко расширено на всю плоскость, как, опять же схематически, показано на рис. 7.78. При таком расширении все точки плоскости после того или иного числа преобразо-
СИНХРОНИЗАЦИЯ И СТОХАСТИЧНОСТЬ
325
ваний Т переходят внутрь области G и там остаются. В области G отображение Т имеет седловую неподвижную точку, инвариантные кривые которой пересекаются, образуя гомоклиническую структуру.
При п == 2 приведены два случая. Первый, когда выполняются равенства
/ (1, 1) = 2, / (1, 2) = 2, / (2, 1) = 1, / (2, 2) = 1,
s (1, 1) = 2, s (1, 2) = 1, s (2, 1) = 2, s (2, 2) = 1,
изображен на рис. 7.79 и второй, для которого
/(1,1) = 2, / (1, 2) = 1, /(2,1) = 2, /(2, 2) = 1,
s (1, 1) = 2, s (1, 2) = 2, s (2, 1) = 1, .9 (2, 2) = 1,
показан на рис. 7.80.
Эти случаи соответствуют притягивающим гомоклини-ческим структурам, состоящим из двух седловых неподвижных точек с различным образом пересекающимися
Рис. 7.79 Рис. 7.80
инвариантными кривыми. Соответствующие им отображения Т, так же как и в предыдущем случае, могут быть гладко распространены на всю плоскость.
Некоторые другие возможные виды отображения Т представлены на рис. 7.81, а, б.
Пусть (и0, у0) — произвольная точка области G. Рассмотрим ее последовательные отображения
(ы„, у0), К, иг), (и2, у2), . . . (7.96)
Согласно (7.94), последовательность отображений Т представляет собою некоторую последовательность из отображений Тi и Lij. При .этом после каждого из отображений Lij следует не менее чем тп отображений Тj.
326 МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 7
Пусть ради простоты т — четное число, равное 2т'. Тогда эта последовательность отображений может быть представлена как последовательность, составленная из
Рис. 7.81
отображений ТГ b\]T™ и Тг. Отображения Тг седловые, а отображения ТГ седловые при выполнении
условия
2vmK < 1, (7.97)
где К — константа Липшица для вспомогательного отображения Lij. Таким образом, если все отображения Lij
\
имеют константу Липшица, меньшую чем v~m, то все
траектории отображения Т будут седловыми.
Условие (7.97) можно выполнить, если в отображениях L\j в качестве функции -ф (и) взять кусочно-гладкую
СИНХРОНИЗАЦИЯ И СТОХАСТИЧНОСТЬ
327
1 _ у
функцию такую, что график функцииг|) (?), где? = -^—— ,
имеет вид, изображенный на рис. 7.82.
Отсутствие у отображения Т устойчивых по Ляпунову траекторий, их седловой характер, приводит к тому, что движение фазовых точек носит блуждающий стохастический характер. Под этим, в частности, имеется в виду стохастический характер , блуждания точек последо- ^ вательности (7.96) по областям А? и В) или, что то же, следования друг за другом отображений Тг и
у TfS
Для гладкого отображения Т условие (7.97) не РИС- 7.82
выполняется. В связи с
этим у отображения Т возможны устойчивые установившиеся движения. В некоторых случаях это так и есть, но, по-видимому, возможны и случаи, когда таких движений нет. Во всяком случае, если они и есть, то их области притяжения необычайно малы и их не удается обнаружить путем численного счета на ЭВМ.
Как уже говорилось, в некоторых случаях точки последовательности (7.96) стохастически блуждают по областям Ai и В). Наглядно эти блуждания можно геометрически описать следующим образом. Примем, что число тп достаточно велико, а числа К и v не слишком близки к единице.
Возьмем любую из областей В), преобразованиями Т} она превращается в тонкую полоску. По мере удлинения этой полоски и попадания ее концов в области Aj и Aj эти концы «отрезаются» и попадают в какие-то области в)\ и в):. Попав в эти области, каждый из этих кусков снова вытягивается одним из отображений Tt в тонкую полоску, которая в свою очередь нарезается с концов на куски, поступающие в какие-то области В] и т. д. Схематически сказанное представлено на рис. 7.83. Блуждание фазовой точки, порождаемое описанным процессом растяжения, нарезания и распределения «направо-налево», весьма напоминает движение горошины по доске Гальтона, приводимое в учебниках как классический пример стохастического процесса,
