Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Поясним сказанное на примере отображения Т отрезка [а, Ъ] в себя. Так как отображение Т преобразует отрезок la, b] в себя, то точки Та и ТЪ необходимо принадлежат этому отрезку. Если Та — а или ТЪ — Ь, то точка а
или Ъ являются неподвижными. Если же Та > а и ТЪ < Ъ, то диаграмма точечного отображения имеет вид, показанный на рис. 7.43. Из нее, в силу непрерывности графика отображения Т, следует, что он обязательно пересекается с биссектрисой. Заметим, что в случае разрывного точечного отображения такой точки пересечения и отвечающей ей неподвижной точки могло бы и не быть (рис, 7.44).
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
289
На рис. 7.45 изображена двумерная область G, гомео-морфная двумерному шару, которая преобразуется непрерывным отображением Т в область G. При этом, согласно теореме, хотя бы одна точка х* этой области G преобразуется в себя. Напротив, при непрерывном преобразовании кольцеобразной области G, изображенной на рис. 7.46,
неподвижной точки может и не быть. Для того чтобы в этом убедиться, достаточно представить себе, что отображение Т состоит в повороте вокруг точки О на угол ф (0 < Ф < 2л).
Отображение кольца в кольцо представляет значительный интерес и довольно часто встречается при исследовании конкретных динамических систем. Изучение ограниченной проблемы трех тел привело А. Пуанкаре к рассмотрению сохраняющего площадь отображения кольца на себя. Он обнаружил, что если при отображении внешний и внутренний контуры вращаются в разных направлениях, то имеется неподвижная точка. Это утверждение получило наименование последней геометрической теоремы А. Пуанкаре [43]. Ее доказательство было позднее найдено Дж. Биркгофом [19].
Может показаться, что если кольцо G преобразуется строго внутрь себя, так что область G переходит в U, то внутри кольца существует замкнутый контур у, преобразующийся в себя (рис. 7.47). В действительности это не всегда так. Однако можно указать довольно общие условия, при которых это имеет место *). При выполнении этих условий все точки кольца в результате повторения преобразования асимптотически приближаются к кривой
*) Эти условия можно получить из общих теорем существования устойчивого инвариантного многообразия [41].
Рис. 7.45
Рис. 7.46
10 H. В. Бутенин и др.
290
МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. V
у. Кривая у преобразуется сама в себя, так что на ней возникает некоторое преобразование окружности в окружность. При невыполнении этого условия отображение кольца в кольцо может иметь весьма сложный вид. Соответствующие примеры будут даны в дальнейшем. Отметим только, что такая сложная структура возникает, например, в случае, когда область G после некоторого числа преобразований переходит в область G и при этом некоторая часть кольца а преобразуется в область а, как это изображено на рис. 7.48.
Вернемся к теореме Брауэра. При выполнении ее условий в области G имеется неподвижная точка. Так как отображение Т преобразует область G в себя, то можно
было бы думать, что точечное отображение Т имеет в G не только неподвижную точку, но и устойчивую неподвижную точку. Однако это не так. В случае отображения отрезка в отрезок это может быть не так лишь при невзаимной однозначности отображения. При взаимной однозначности отображение Т отрезка в себя всегда имеет устойчивую неподвижную точку.
Для отображения круга в круг пример, опровергающий это утверждение о существовании устойчивой неподвижной точки, достаточно сложен.
Таким образом, теорема Брауэра, формулируя достаточные условия существования неподвижной точки, ничего не говорит ни об их числе, ни об устойчивости.
Следующий очень важный и общий критерий существования неподвижной точки широко известен как принцип сжимающих отображений С. Банаха. Этот критерий позволяет установить не только существование неподвижной точки, но и ее единственность. По существу он
г
Рис. 7.47
Рис. 7.48
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
291
дает достаточные условия существования единственной глобально устойчивой неподвижной точки.
Точечное отображение называется сжимающим, если оно при преобразовании уменьшает расстояние между любой парой точек, т. е. ^сли для любой пары точек М и N и их образов М и N выполняется неравенство
р (И, N) < р (М, N). (7.50)
Основное утверждение принципа сжимающих отображений применительно к конечной области G многомерного евклидова пространства состоит в том, что если сжимающее отображение Т преобразует эту область G в себя, то в ней имеется единственная пеподвижная точка х* и вся область G при неограниченном повторении отображения Т стягивается к ней. Из этого утверждения следует, что последовательные преобразования любой точки х ЕЕ G
х, Тх, Т2х, ...
сходятся в неподвижной точке х*. В случае, если условие сжимаемости может быть усилено, так что для любой пары точек х и у области G
Р (г, у) < др (х, у)
с некоторым q < 1, то сходимость последовательности точек к неподвижной точке х* не медленнее, чем геометрической прогрессии с знаменателем q.
