Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бутенин Н.В. -> "Введение в теорию нелинейных колебаний" -> 97

Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.

Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.Л. Введение в теорию нелинейных колебаний — Москва, 2000. — 385 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuneleneynihkolebaniy2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 91 92 93 94 95 96 < 97 > 98 99 100 101 102 103 .. 125 >> Следующая


а) 5}

Рис. 7.57

гивающее вдоль оси v. При этом вектор (б и, б и) преобразуется в вектор (бй, б?), как показано на рис. 7.58.

Точечное отображение, сжимающее по одним направлениям и растягивающее по другим, называется седловым. Простейшим примером седлового точечного отображения Т может служить отображение вида

й = (Я + / (и, и)) и + й0,

V = (V-1 + g (и, и)) V + v0, ^7'61)

где | Я, | < 1, | v | < 1, a f (и, и) и g (и, и) — гладкие

функции, обращающиеся в нуль при и = v = 0. Варьируя
298 МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

соотношения (7.61), найдем, что 8й — к8и + и би +

8v — v_18u + v 8u + -||- би^ + g8v,

откуда

I | < (| Л. | + |u|

Ip

[ГЛ. 7

JL

du

I I < I V I ( 1 + I *M I •

+ I /1) l^u I + 11111‘ «!, 1 x

(|6i71 + \v

?L

dv

dv

+

I V |

X

dg

du

8u |),

и поэтому

где

6й I + I6v I <q(ISu I + I6v I), df

q = max jmax I | % | -(- | и |

i u,v L

+ 1/1 + m(

TBX[,“,I"S'I'HVI(1 +

du

1 + '

+

+

V)

dg

Og

du

+

du

'0“]}-

(7.62)

Из приведенной оценки для q видно, что вблизи точки и — у = 0 г/ <1 (при и = v = Oq = max ( | X |, | л’ |) < 1).

Поэтому отображение Т, вспомогательное к седловому отображению Т, в окрестности точки и = = v = 0 сжимающее. На рис. 7.59 даны наглядные изображения седлового отображения Т и соответствующего ему сжимающего вспомогательного отображения Т.

Теперь мы можем сформулировать утверждение, которое оказывается полезным при исследовании точечных отображений, возникающих во многих конкретных случаях.

Теорема 7.3. Пусть точечное отображение Т имеет многозначное вспомогательное отображение Т, и пусть f Т2, . . ., Тm — некоторые из составляющих его од-
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

299

нозначных отображений, которые определены в области G, преобразуют ее в себя и являются в ней сжимающими, тогда любому набору целых положительных чисел г1? г2, ..., ?га, не больших т, соответствует своя единственная /г-кратная седловая неподвижная точка отображения Т.

Подчеркнем, что разным наборам целых чисел ilt г2, in отвечают различные неподвижные точки. Цикл /г-кратных неподвижных точек отображения Т составляют

точки, отвечающие п циклическим перестановкам чисел in &2> •••) In-

Из этой теоремы следует, что удовлетворяющее ее условиям точечное отображение Т обладает весьма сложной структурой и что появление этой сложной структуры связано с многозначностью вспомогательного отображения Т и его свойством преобразования некоторой области G в себя. Свойство сжимаемости, как оказывается, не является столь существенным. Оно лишь обеспечивает взаимную однозначность соответствия неподвижных точек и числовых последовательностей iu i2, ..., in, а также их седловой характер.

Доказательство теоремы по существу полностью подготовлено предшествующим изложением. Осталось только показать, что отображение

... ТчТи (7.63)

допускает определенное в G сжимающее вспомогательное отображение, преобразующее G в себя. Доказательство этого утверждения можно провести методом индукции, для чего достаточно убедиться, что если отображения R и S имеют определенные в G сжимающие и преобразую-
300

МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

[ГЛ. 7

щие G в себя вспомогательные отображения Я и 3, то таким же свойством обладает и отображение RS.

Докажем сначала, что отображение RS определено в области G и преобразует ее в себя. Для этого рассмотрим схему

Uq ) Wj )*¦ и2

, ч ; к
S Я
> ' •
vQ ¦<--------------------------------------------------------v2

и начнем пересчитывать входящие в нео переменные в соответствии со стрелками по формулам

(av v0) = 3 (м0, и,), (й2, vx) = Я (uv v2).

Для возможности такого пересчета нужно, чтобы точки («0, г>х) и (щ_, v2) принадлежали области G. Нетрудно видеть, что после пересчета новая схема также будет удовлетворять этому требованию. Каждое из применяемых при этом преобразований 3 и Я — сжимающее, поэтому очевидно, что при неограниченном применении описанной процедуры пересчета рассматриваемая схема будет сходиться к некоторой предельной схеме
Предыдущая << 1 .. 91 92 93 94 95 96 < 97 > 98 99 100 101 102 103 .. 125 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed