Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
а) 5}
Рис. 7.57
гивающее вдоль оси v. При этом вектор (б и, б и) преобразуется в вектор (бй, б?), как показано на рис. 7.58.
Точечное отображение, сжимающее по одним направлениям и растягивающее по другим, называется седловым. Простейшим примером седлового точечного отображения Т может служить отображение вида
й = (Я + / (и, и)) и + й0,
V = (V-1 + g (и, и)) V + v0, ^7'61)
где | Я, | < 1, | v | < 1, a f (и, и) и g (и, и) — гладкие
функции, обращающиеся в нуль при и = v = 0. Варьируя
298 МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
соотношения (7.61), найдем, что 8й — к8и + и би +
8v — v_18u + v 8u + -||- би^ + g8v,
откуда
I | < (| Л. | + |u|
Ip
[ГЛ. 7
JL
du
I I < I V I ( 1 + I *M I •
+ I /1) l^u I + 11111‘ «!, 1 x
(|6i71 + \v
?L
dv
dv
+
I V |
X
dg
du
8u |),
и поэтому
где
6й I + I6v I <q(ISu I + I6v I), df
q = max jmax I | % | -(- | и |
i u,v L
+ 1/1 + m(
TBX[,“,I"S'I'HVI(1 +
du
1 + '
+
+
V)
dg
Og
du
+
du
'0“]}-
(7.62)
Из приведенной оценки для q видно, что вблизи точки и — у = 0 г/ <1 (при и = v = Oq = max ( | X |, | л’ |) < 1).
Поэтому отображение Т, вспомогательное к седловому отображению Т, в окрестности точки и = = v = 0 сжимающее. На рис. 7.59 даны наглядные изображения седлового отображения Т и соответствующего ему сжимающего вспомогательного отображения Т.
Теперь мы можем сформулировать утверждение, которое оказывается полезным при исследовании точечных отображений, возникающих во многих конкретных случаях.
Теорема 7.3. Пусть точечное отображение Т имеет многозначное вспомогательное отображение Т, и пусть f Т2, . . ., Тm — некоторые из составляющих его од-
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
299
нозначных отображений, которые определены в области G, преобразуют ее в себя и являются в ней сжимающими, тогда любому набору целых положительных чисел г1? г2, ..., ?га, не больших т, соответствует своя единственная /г-кратная седловая неподвижная точка отображения Т.
Подчеркнем, что разным наборам целых чисел ilt г2, in отвечают различные неподвижные точки. Цикл /г-кратных неподвижных точек отображения Т составляют
точки, отвечающие п циклическим перестановкам чисел in &2> •••) In-
Из этой теоремы следует, что удовлетворяющее ее условиям точечное отображение Т обладает весьма сложной структурой и что появление этой сложной структуры связано с многозначностью вспомогательного отображения Т и его свойством преобразования некоторой области G в себя. Свойство сжимаемости, как оказывается, не является столь существенным. Оно лишь обеспечивает взаимную однозначность соответствия неподвижных точек и числовых последовательностей iu i2, ..., in, а также их седловой характер.
Доказательство теоремы по существу полностью подготовлено предшествующим изложением. Осталось только показать, что отображение
... ТчТи (7.63)
допускает определенное в G сжимающее вспомогательное отображение, преобразующее G в себя. Доказательство этого утверждения можно провести методом индукции, для чего достаточно убедиться, что если отображения R и S имеют определенные в G сжимающие и преобразую-
300
МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 7
щие G в себя вспомогательные отображения Я и 3, то таким же свойством обладает и отображение RS.
Докажем сначала, что отображение RS определено в области G и преобразует ее в себя. Для этого рассмотрим схему
Uq ) Wj )*¦ и2
, ч ; к
S Я
> ' •
vQ ¦<--------------------------------------------------------v2
и начнем пересчитывать входящие в нео переменные в соответствии со стрелками по формулам
(av v0) = 3 (м0, и,), (й2, vx) = Я (uv v2).
Для возможности такого пересчета нужно, чтобы точки («0, г>х) и (щ_, v2) принадлежали области G. Нетрудно видеть, что после пересчета новая схема также будет удовлетворять этому требованию. Каждое из применяемых при этом преобразований 3 и Я — сжимающее, поэтому очевидно, что при неограниченном применении описанной процедуры пересчета рассматриваемая схема будет сходиться к некоторой предельной схеме