Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
74
ПРОСТЕЙШИЕ КУСОЧГТО-.ТТИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 4
к исследованию точечного отображения Т плоскости в себя. Неподвижная точка отображения Т так же, как и в случае фазовой плоскости, соответствует замкнутой траектории в трехмерном фазовом пространстве. Устойчивая неподвижная точка отвечает орбитно устойчивому предельному циклу. Процедура нахождения точечного отображения Т в рассматриваемом случае аналогична
описанной выше для случая фазовой плоскости, однако получаемые при ;>том выражения значительно усложняются. Пусть, например, трехмерное фазовое пространство Ф с декартовыми координатами .г, //, z разбивается плоскостью г = 0 иа две области, в каждой из которых уравнения динамики
Р (х, у, z), — Q (х, у, z),
П (•'¦• ') (••")
различны, но линеины. Интегрируя линейные дифференциальные уравнения (4.8) в области I фазового пространства Ф (рис. 4.5), запишем решение с начальными условиями t = 0, х = х0, у --= у0, z = z0 в виде
х ~ Ф1 {t: xoi Уо> zo)> У == Фз (^> xoi Уо> zo)i
z = ср3 (t, х0, у о, z0). (4.9)
Начальные значения х0, у0, z0 входят в выражения (4.9) линейно, что существенно упрощает дальнейшие выкладки. Пусть изображающая точка, которая в начальный момент времени t = 0 находилась на плоскости z = О в точке Мх (хг, Ух), перемещается в области I согласно уравнениям (4.8) и через промежуток времени тх вновь попадает на плоскость z = 0 в другую, вообще говоря, точку М' (х', у'). При этом в соответствии с законом движения (4.9) мы получаем соотношения
х' = Ф1 К. хи Ун 0), у' = Ф3 (ть X], ух, 0),
0 = Ф3 (Ь, Х\, Ух, 0), (4.10)
определяющие точечное отображение плоскости z = 0 в себя. В самом деле, пусть значения хг, заданы. Тогда, подставляя эти значения в (4.10), получаем уравнение
Рис. 4.5
ПОВЕДЕНИЕ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ
ф3 (т15 хъ z/j, 0) = О, которое обычно оказывается трансцендентным относительно тх. Затем находим наименьший корень Tj уравнения ф3 = 0 и подставляем найденное значение в первые два соотношения (4.10). В результате находим координаты точки (х', у'), в которую преобразуется точка (хъ z/j). Если разрешить первые два соотношения (4.10) относительно хх, уг и подставить полученные выражения хг, z/j в третье соотношение (4.10), то можно представить точечное отображение Тх в виде
*i = 'I’i (Ti, х', у'), уj = г|)2 (т15 х', у’),
4'з (ть х’, У’) = 0. (4.11)
Отсюда по заданным значениям х', у' сначала из третьего соотношения (4.11) определяем наименьший корень т, полученного уравнения г|:3 = 0 и, подставляя затем это значение в первые два соотношения (4.11), находим величины хъ уТем самым точке М' плоскости z = 0 однозначно ставится в соответствие некоторая точка Мг той же плоскости.
Проинтегрируем теперь уравнения (4.8) в области II фазового пространства Ф и запишем найденное решение в виде
х = ф4 (t, х0, у о, z0), у = ф6 (t, х0, г/0, z0),
z = ф6 (t, х0, г/о, z0). (4.12)
Начальные значения х0, г/0, z0 входят сюда также линейно. Пусть изображающая точка находится в начальный момент времени t = 0 на плоскости г = 0 в точке М' (х', у') и затем, перемещаясь в области II, через промежуток времени т2 вновь приходит на плоскость z = 0 в некоторую точку М2 (х2, г/2); тогда согласно (4.12) получаем соотношения
х2 = ф4 (т2, х', у', 0), г/2 = ф5 (т2, х', у', 0),
0 = ф6 (т2, х', у', 0), (4.13)
которые осуществляют точечное отображение Т2 плоскости z = 0 в себя: точке М' однозначно ставится в соответствие точка М2. Точечное отображение Тъ определяемое соотношениями (4.10), и точечное отображение Т2, определяемое соотношениями (4.13), проведенные последовательно, определяют точечное отображение Т = Т2-Тг, которое является произведением точечных отображений Т1 и Т2, осуществляющее преобразование точки Мг плоскости z = 0 в точку М2. Это отображение можно записать в виде
76
ПРОСТЕЙШИЕ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. k
краткой формулы ТМХ = М2. При совпадении точек Мг и М2 эта формула превращается в уравнение ТМ* = М*, которому должна удовлетворять неподвижная точка Мх = = М% = М*. Неподвижная точка отображения Т соответствует замкнутой траектории в трехмерном фазовом пространстве Ф. Из условия совпадения точек Мг и М2 после подстановки в соотношения (4.10) и (4.13) значений
xi ~ х2 = х*> У1 — Уг ~ У* получаем систему уравнений
х'* = Ф1 (т*, х*, У*, 0), у'* = фг (т*, х*, у*, 0),
Фз (т?, х*, у*) = 0, х* = ф4 (rf, ж'*, у'*, 0), у* = ф6 (т*, х'*, у'*, 0), (4.14)
Фб С4> х'*, у'*) = о
для определения координат х*, у*, х'*, у'* точек, через которые проходит замкнутая фазовая траектория, а также величин т* и т*, определяющих период т = т* + т* соответствующего периодического движения. Устойчивая изолированная неподвижная точка отображения Т соответствует наличию в фазовом пространстве Ф орбитно устойчивого предельного цикла.
