Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, движение изображающей точки по замкнутым фазовым траекториям, охватывающим состояние равновесия па фазовом цилиндре, соответствует полету плапера по волнообразным линиям, а при движении по кривым, охватывающим фазовый цилиндр,— полету, при котором планер совершает мертвые петли.
Рассмотрим теперь, как изменяется фазовый портрет системы и, следовательно, характер движения планера в общем случае а ф. 0.
62 СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ИХ ИССЛЕДОВАНИЕ [ГЛ. 3
Согласно уравнениям (3.17) система по-прежнему имеет одно состояние равновесия, однако теперь его координаты определяются выражениями
0о = — arctg а (— Jt/2 < 0О < 0),
Уо=— = (0<2/„<1).
У 1 + а2
Состояние равновесия системы (3.21) соответствует полету планера по нисходящей прямой с постоянной скоростью г/о 1 - Устойчивость этого состояния равновесия определяется корнями характеристического уравнения
р2 + 3 ар + 2=0,
откуда следует, что равновесие всегда устойчиво: при значениях а <2 ^2/3 особая точка — фокус, а при
а > 2 ^ 2/3 — узел. Покажем, что в рассматриваемом случае на фазовом цилиндре не может быть замкнутых фазовых траекторий ни при каком значении параметра а Ф- 0. Для этого воспользуемся критерием Дюлака, взяв у в качестве функции R:
д (уР) , д (у<?)
ду дв ~
= ~' If sln 6 + а2/3) + ж — cos е)= ~За^2-
Это выражение обращается в нуль лишь на окружности у = 0, охватывающей фазовый цилиндр. Следовательно, в области у ^>0 замкнутые фазовые траектории отсутствуют.
ПРИМЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЯ КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ
63
Убедимся также в том, что в области у ]> 0 не может быть замкнутых траекторий, охватывающих фазовый цилиндр. В самом деле, предположим, что такая траектория
Рис. 3.16
существует. Тогда, соединив эту замкнутую фазовую кривую с интегральной кривой у = 0 при помощи отрезка образующей, получим замкнутый контур (рис. 3.16),
Z
X
Рис. 3.18
ограничивающий область, заключенную между интегральными кривыми. Интеграл \y(Pdy — Qdx), взятый вдоль этого контура, равен нулю, потому что отрезок АВ на рис. 3.16 проходится два раза (в прямом и обратном направлении), а остальные участки этого замкнутого контура состоят из интегральных кривых. Следователь-
04
СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ИХ ИССЛЕДОВАНИЕ [ГЛ. 3
д (уР) , д (yQ) .. ..
но, выражение ——|----------^—должно было бы в рассмат-
риваемой области обратиться в нуль, что невозможно.
Итак, в случае а Ф 0 все фазовые траектории асимптотически приближаются к устойчивому состоянию равновесия, а фазовый портрет системы имеет вид, показанный на рис. 3.17. Таким образом, при наличии сил сопротивления воздуха планер при любых начальных условиях приходит к единственному устойчивому равновесному режиму. Если начальная скорость планера достаточно велика, то планер совершит сначала одну или несколько мертвых петель, затем по волнообразно затухающей траектории будет приближаться к траектории прямолинейного полета. Одна из возможных траекторий полета планера показала на рис. 3.18.
ГЛАВА 4
ПРОСТЕЙШИЕ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ (СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРОЙ)
И ИХ ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОМ ТОЧЕЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Рассмотрим динамическую систему, поведение которой описывается системой дифференциальных уравнепий
Xi /i (^li %п) 1> (^*1)
где переменные хх, ..., хп определяют состояние динамической системы, а функции ^(хг, ..., хп), f«(xx, ..., хп), ... ..., fn(x1, хп) предполагаются кусочно-гладкими. Допустим, кроме того, что эти функции в заданных областях изменения переменных Xj, х2, ..., хп обеспечивают существование единственного решения дифференциальных уравнепий (4.1) (по крайней мере для возрастающих значений времени t) и его непрерывную зависимость от начальных условий. Поскольку функции /х, /а, ..., fn не содержат явно времени t, динамическая система называется автономной, а ее фазовое пространство является «-мерным. Если правая часть уравнений
(4.1) может быть представлена в виде / : Л.г, где А
обозначает матрицу, элементы которой но зависят от х м то динамическая система называется линейной. Свойство линейности тесно связано с широко используемым принципом ^'суперпозиции. В случае автономной системы элементы матрицы А — постоянные величины и решение системы" дифференциальных уравнений (4.1) находится наиболее просто. ?
Динамическая система называется квазилинейной, если уравнения (4.1) имеют вид
х ~ Ах + iig(x),
60
ПРОСТЕЙШИЕ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 4
где ц — малый параметр. Теория квазилинейных систем разработана достаточно полно, с ее помощью решены многие нелинейные задачи. Квазилинейные системы представляют собою, пожалуй, единственный широкий класс динамических систем, допускающих сравнительно полное аналитическое исследование. Существенный недостаток этой теории, однако, состоит в том, что в практических приложениях значения параметра jn, который в теории предполагается сколь угодно малым, часто не удовлетворяют оценкам, при которых построена теория. Поэтому границы достоверности получаемых при помощи этой теории результатов оказываются трудно определимыми. Наиболее сложными для теоретического исследования динамическими системами являются так называемые сильно нелинейные системы.
