Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
«лестницу Ламерея», что мы предлагаем проделать читателю.
Во многих задачах не представляется возможным получить функцию последования, записанную в явном виде
(4.3). В таком случае прибегают к параметрической форме этой записи, что часто облегчает не только нахождение функции последования, но и ее исследование. Пусть, например, фазовая плоскость ху рассматриваемой динамической системы разбивается прямой L, определяемой уравнением у = —кх, на две области: / и II (рис. 4.3), в каждой из которых уравнения движения (4.2) различны, но линейны. Обозначим через .г,, х' абсциссы точек пересечения прямой у = — кх с некоторой фазовой траекторией, по которой изображающая точка движется в области I, а через х', х2 — абсциссы точек пересечения той же прямой с фазовой траекторией, которая проходит через точку х', у' — — кх' и принадлежит области//. Интегрируя ли-
*) Теорема Кёнигса справедлива и для случая, когда производная ds/ds < 0. Указанный случай имеет место, например, при исследовании вырожденного трехмерного фазового пространства, когда это исследование сводится к изучению точечного отображения полупрямой в себя (см. § 3).
72 ПРОСТЕЙШИЕ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ (ГЛ. 4
нейные дифференциальные уравнения в области I с начальными условиями t = 0, х — xv у = Ух, получим решение х = (t, г/J, у — ф2 (г, г/i), которое зависит
от начальных значений хи г/г фазовых переменных линейно. Через промежуток времени изображающая точка вновь придет на прямую L в точку с координатами х', у' = —/се'. Подставляя эти значения в найденное решение и используя уравнение прямой L, приходим к системе уравнений
я' = <Pi К, уи) у' = —/ex',
г/' = ф.2 (тх, г/х), ух = —fo:x,
откуда после исключения величин г/х, г/' получаем искомую функцию последования в параметрическом представлении
(^i), х' = \|з2 (Ti) (4.5)
с текущим параметром tx. Функция последования (4.5) осуществляет точечное отображение Тх верхней части
прямой//в нижнюю ее часть. Проводя аналогичное рассмотрение области II на рис. 4.3, получим точечное отображение Т2 нижней части прямой L в верхнюю ее часть с функцией последования
*2 = 'Ь (Т2), X' = (Т2),
(4.6)
где текущий параметр т2 представляет собою время пробега изображающей точки в области II. Точечное отображение Т отрезка полупрямой h в себя получается в результате последовательного применения точечных отображений Тг и Т2, т. е. отображение Т = 1\-Т2 является
произведением отображений Тг и Т2. Задача отыскания
предельных циклов, охватывающих обе области, сводится, таким образом, к нахождению точек пересечения кривых
(4.5) и (4.6) (рис. 4.4) или, что то же самое, к решению системы уравнений
’К (т*) = (т|), г|>2 «) = ф4 (т|),
Рис. 4.5
ПОВЕДЕНИЕ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЯ
73
которые обычно оказываются трансцендентными. Устойчивость неподвижной точки п соответствующего предельного цикла определяется по-прежнему теоремой Кёнигса, в которой нужно использовать выражение
dx2 __ (т*> (Tf) {, ъ
d.ri ' 'dx' • d.,, ~ 1 ф; (rf , ' {}
Описанный способ получения точечных отображений применим для любых кусочно-лмиейных дииамичоскпх систем второго порядка и и более общем случае, когда фазовая плоскость разбивается на три, четыре и большее число областей. Однако практические трудности в решении задачи при этом возрастают из-за громоздкости получаемых выражений. Лишь с созданием быстродействующих электронно-вычислительных машин появились новые возможности для преодоления математических трудностей при решении не только этих, но и более сложных и громоздких задач.
Обратимся теперь к исследованию поведения траекторий в трехмерном фазовом пространстве. Поведение соответствующей динамической системы описывается системой трех нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Будем по-прежнему предполагать, что для их решений в сторону возрастания времени соблюдаются теоремы единственности и непрерывной зависимости от начальных условий. Введем понятие поверхности без контакта. По определению поверхностью без контакта называется гладкая поверхность, во всех своих точках пересекаемая фазовыми траекториями без касания. Секущей поверхностью будем называть поверхность без контакта, которая при возрастании времени вновь и вновь пересекается фазовыми траекториями, причем так, что промежутки времени между последовательными пересечениями ограничены. При выполнении сделанных выше предположений фазовые траектории рассматриваемой динамической системы порождают на секущей поверхности S некоторое непрерывное точечное отображение Т, которое любой точке М поверхности S ставит в соответствие ближайшую, следующую за М, точку М пересечения фазовой траектории, выходящей из точки М, с поверхностью S. Часто в качестве секущей поверхности S выбирают некоторую плоскость. В этом случае задача изучения поведения траекторий в трехмерном фазовом пространстве сводится
