Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
— оо т оо точечные отображения Тх образуют одно-
параметрическую группу, причем
rp rp Т_______ грл
1 Ъ1 тг — 1 Ti+T*
(4.19)
ТОЧЕЧНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ СДВИГА
85
При значении т = 0 оператор сдвига Тх представляет тождественное преобразование, а при изменении т от —оо до оо оператор Тх определяет фазовые траектории рассматриваемой динамической системы. В силу соотношения
(4.19) оператор Тх определен для любого т, если он определен для всех достаточно малых значений т.
Нетрудно видеть, что оперетор Тх находится непосредственно в случае, когда известно общее решение дифференциальных уравнений (4.18). В самом деле, пусть это общее решение имеет вид
X; = <Pi (t, xl, xl . . ., x°n, t°) (i = 1,2,.. ., n), (4.20)
где xl, x\, . . Хп — значения фазовых переменных хг, х2, . . ., хп в начальный момент времени t0. Тогда в расширенном фазовом пространстве ФЛ+1, в котором по осям координат отложены фазовые переменные хг, х2, . . ., хп и время t, изображающая точка, перемещаясь в соответствии с законом движения (4.20), в момент времени tx (tx ^> > i0) достигает некоторой точки Мх с координатами х\, х\, . . ., xl,. Согласно (4.20) координаты точки Мг (х\, х\, . . ., х\) и точки М0 (xl, х0,, . . х„) связаны соотно-
шениями х\ = ф; (tx, x'l, х\, . . ., Хп, t0) (i = 1, 2, . . ., п). Если в этих соотношениях положить^ = t0 + т, где т — фиксированная величина, то они определят в пространстве ФЛ+1 отображение сдвига Тх:
Х{ Ф^ (^о т, х-у, X}, . . ., Хп, t0) (i 1,2,..., п).
(4.21)
В случае автономной системы правые части формул преобразования (4.21) не зависят от времени явно и отображение Тх принимает вид
ж} = ф; (т, xl, xl, . . ., xh) (г = 1,2,..., п). (4.22)
Остановимся теперь на вопросе о связи точечного отображения Т, порождаемого фазовыми траекториями на секущей поверхности, с отображением сдвига Тх. Отображение Т секущей поверхности определено в пространстве, размерность которого по крайней мере на единицу меньше, чем размерность фазового пространства системы. В отличие от Т, точечное отображение сдвига Тх определено в пространстве той же размерности, что и фазовое простран-
86
ПРОСТЕЙШИЕ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 4
ство. Поэтому характер связи между структурой фазового портрета динамической системы и структурой точечного отображения сдвига Тх отличается от связи структуры разбиения фазового пространства на траектории со структурой отображения Т секущей поверхности. Вместо с тем отображение сдвига Тх автономной системы или неавтономной системы, правые части дифференциальных уравнений которой являются периодическими функциями времени t, можно интерпретировать как точечное отображение Т, порождаемое решениями дифференциальных уравнений на секущей поверхности t = const в расширенном фазовом пространстве Ф„.ц. Таким образом, мы получаем возможность применять отображение сдвига Тх для изучения вынужденных и параметрических колебаний динамической системы. В самом деле, пусть т — период изменения параметра или внешней силы, действующей на рассматриваемую динамическую систему. Расширенное фазовое пространство такой системы представляет собою топологическое произведение пространства Ф„ переменных х1у х2, . . ., хп и окружности, которая соответствует
фазе ф t — — т (квадратные скобки означают целую
часть от стоящего внутри выражения). Поверхность <р = = 0в этом расширенном фазовом пространстве является секущей, и фазовые траектории порождают на ней некоторое точечное отображение Т, совпадающее в этом случае с отображением сдвига Тх. Неподвижная точка этого отображения для неавтономной системы соответствует периодическому решению с периодом т. Что касается автономной системы, то периодическому движению, изображаемому в пространстве Ф„ замкнутой кривой Г, соответствует кривая, инвариантная по отношению к отображению сдвига. В случае, когда период периодического движения соизмерим с временем сдвига т, инвариантная кривая состоит из кратных неподвижных точек отображения Тх. Неподвижной точке отображения сдвига Тх для автономной динамической системы отвечает либо состояние равновесия, либо периодическое движение с периодом, кратным времени сдвига т.
В заключение этого параграфа покажем, каким образом можно обосновать известный метод усреднения и его модификации (метод Ван-дер-Поля, стробоскопический метод Минорского и др.) при помощи метода точечных отображений. Идея метода усреднения, как известно3 состоит
ТОЧЕЧНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ СДВИГА
87
в том, что исследование уравнений
ii = jx/j (хх, х2, . . хп, t) (i = 1,2,.. ., га), (4.23)
где функции fi предполагаются периодическими по t с периодом т, заменяется исследованием уравнений
х% = (хх, х2, . . ., хп) (г = 1,2,..., га), (4.24)
правая часть которых получается путем усреднения по времени правой части исходных' уравнений (4.2.3).
Для доказательства правомерности такой замены покажем, что точечное отображение Т, построенное для системы дифференциальных уравнений (4.23), близко к точечному отображению сдвига Тг, построенному для уравнений (4.24), с точностью до малых величин порядка ц2. В самом деле, точечное отображение Т, порождаемое фазовыми траекториями уравнений (4.23), легко находится, если известно общее решение этих уравнений. В нашем случае общее решение уравнений (4.23) с точностью до малых величин порядка |х2 записывается в виде t
